Что касается предложения 1, Архимед использовал длины сторон l>6, l>12, l>24, l>48, l>96; L>6, L>24, L>12, L>48, L>96, соответствующих вписанным и описанным многоугольникам с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Для расчета этих длин он предложил итеративный алгоритм, с помощью которого начиная с ln можно было вычислить длину l>2n, а с помощью L>n — L>2n, где n равно 6. В конце Архимед выразил отношение L>96 < L < L>96 и пришел к следующему результату:
223/71 < L/d < 22/7
Математик сделал важное наблюдение: соотношение между площадью круга S и радиусом в квадрате r>2 и соотношение между длиной L окружности и ее диаметром d=2r равны. Числовое значение этого соотношения обозначается буквой π.
Другими словами, Архимед установил, что
S/r2 = L/d = π
Открытия, совершенные Евдоксом и систематизированные Евклидом, позволяют добиться значительных результатов в изучении круга и окружности. Необходимо также учесть, что Архимед использовал периметры, в то время как в папирусе Ринда и тексте Евклида говорится о площадях.
НЕСБЫТОЧНАЯ МЕЧТА
Решение задачи квадратуры круга «по-гречески», то есть при помощи линейки и циркуля, ускользало от геометров на протяжении нескольких столетий. В 414 году до н. э. афинский драматург Аристофан назвал своего персонажа, который хвалился тем, что построил квадратуру круга, шарлатаном. Но трудности не помешали многим выдающимся математикам делать попытки там, где потерпели поражение предшественники. Николай Кузанский (1401-1464), Оронций Финеус (1494-1555) и Грегуар де Сен-Венсан (1584-1667) опубликовали фантастические методы получения квадратуры круга, которые оказались ложными. В то же самое время Джеймс Грегори (1638-1675) и Иоганн Бернулли (1667-1748) разработали различные способы, позволяющие подойти к решению этой задачи с другой стороны. Немецкий ученый Иоганн Ламберт (1728-1777) первым доказал, что число π является иррациональным. Его соотечественник Фердинанд фон Линдеман (1852-1939) в 1880 году открыл, что π — еще и трансцендентное число, то есть не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Это делало невозможным построение квадратуры круга при помощи только линейки и циркуля. Так пришлось отказаться от решения тысячелетней задачи, а мечты легиона искателей квадратуры круга, среди которых были английский философ Томас Гоббс и даже Наполеон, пошли прахом.
ГЛАВА 7
Арифметика в «Началах»
В «Началах» говорится преимущественно о геометрии.
Однако это сочинение также содержит три книги, написанные под явным влиянием пифагорейской школы и не зависящие от остальных. В них Евклид рассказывает об элементарных результатах теории делимости, в том числе о знаменитом алгоритме нахождения наибольшего общего делителя.