Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 33

Рис. 1

Помимо вертикальной асимптоты x=0 гипербола y = 1/x имеет еще и горизонтальную асимптоту y=0, как и график функции y = e^>-xsin x, однако он, в отличие от гиперболы, пересекает свою горизонтальную асимптоту в бесконечном множестве точек (рис. 2).

Рис. 2

У кривой, носящей название «декартов лист» (рис. 3), уравнение которой x^>3 + y^>3 - 3axy = 0, имеется наклонная асимптота, как и у кривой y = x + 1/x^>2 (рис. 4). Коэффициенты k и b в уравнении прямой y = kx + b, являющейся наклонной асимптотой кривой y=f(x) при стремлении к плюс или минус бесконечности, находятся как пределы:

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при k = 0.

Рис. 3

Рис. 4

Исследование асимптот позволяет более четко представить поведение графика функции, поскольку свойства функции вблизи ее асимптоты очень близки к свойствам асимптоты – линейной функции, свойства которой хорошо изучены. Систематическое использование этого свойства породило целое направление в современной математике - «асимптотические методы исследования». Таким образом, понятие, возникшее еще в Древней Греции, переживает в наше время второе рождение.

Не у всякой кривой, уходящей в бесконечность, есть асимптота. Например, известная вам кривая парабола асимптот не имеет.

Лемниската – кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек – фокусов – постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. Эта линия изображена на рисунках, по форме напоминает восьмерку. Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705) дал этой кривой поэтическое название «лемниската». В античном Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх.

Уравнение лемнискаты в прямоугольных координатах: (x^>2 + y^>2)^>2 - 2a^>2(x^>2 - y^>2) = 0, уравнение в полярных координатах: p^>2 = 2a^>2 cos 2φ.

Вектор – одно из основных геометрических понятий. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виду целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление (рис. 1). Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скорость (поступательно движущегося тела), ускорение, сила и др.

Рис. 1

Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и ее приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея-Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.