Каждый из направленных отрезков, составляющих вектор (рис. 1), можно назвать представителем этого вектора. Вектор, представителем которого является направленный отрезок, идущий от точки A к точке B, обозначается через . На рис. 1 имеем , т.е. и - это один и тот же вектор (представителями которого являются оба направленных отрезка, выделенных на рис. 1). Иногда вектор обозначают малой буквой со стрелкой: , .
Вектор, изображаемый направленным «отрезком», у которого начало и конец совпадают, называется нулевым; он обозначается через
, т.е.
. Два параллельных вектора, имеющих одинаковые длины, но противоположные направления, называются противоположными. Если вектор обозначен через
, то противоположный ему вектор обозначается через .Назовем основные операции, связанные с векторами.
I. Откладывание вектора от точки. Пусть - некоторый вектор и A - точка. Среди направленных отрезков, являющихся представителями вектора , имеется направленный отрезок, начинающийся в точке A. Конец B этого направленного отрезка называется точкой, получающейся в результате откладывания вектора от точки A (рис. 2). Эта операция обладает следующим свойством:
I1. Для любой точки A и любого вектора существует, и притом только одна, точка B, для которой .
Рис. 2
Сложение векторов. Пусть и - два вектора. Возьмем произвольную точку A и отложим вектор от точки A, т.е. найдем такую точку B, что (рис. 3). Затем от точки B отложим вектор , т. е. найдем такую точку C, что . Вектор называется суммой векторов и и обозначается через . Можно доказать, что сумма не зависит от выбора точки A, т.е. если заменить A другой точкой A>1, то получится вектор , равный (рис. 3). Из определения суммы векторов вытекает, что для любых трех точек A,B,C справедливо равенство
I2:
(«правило трех точек»). Если ненулевые векторы и не параллельны, то их сумму удобно находить с помощью правила параллелограмма (рис. 4).
Рис. 3
Рис. 4
II. Основные свойства суммы векторов выражают следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов
, , ):II1.
.II2.
.II3.
.II4.
.Заметим еще, что сумма нескольких векторов находится последовательным нахождением суммы двух из них. Например:
.При этом, в каком бы порядке мы ни складывали заданные векторы, результат (как это вытекает из свойств, названных в пунктах II1, и II2) всегда будет одним и тем же. Например:
.Далее, геометрически сумма нескольких векторов
может быть получена следующим образом: надо направленные отрезки, являющиеся представителями этих векторов, последовательно отложить друг за другом (т.е. так, чтобы начало второго направленного отрезка совпадало с концом первого, начало третьего – с концом второго и т.д.); тогда вектор 
