Рис. 5
III. Умножение вектора на число. Пусть - ненулевой вектор и k - отличное от нуля число. Через обозначается вектор, определяемый следующими двумя условиями: а) длина вектора равна ; б) вектор параллелен вектору , причем его направление совпадает с направлением вектора при k>0 и противоположно ему при k<0 (рис. 6). Если справедливо хотя бы одно из равенств , k = 0, то произведение считается равным . Таким образом, произведение определено для любого вектора и любого числа k.
Рис. 6
Следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов , и любых чисел k, l) выражают основные свойства операции умножения вектора на число:
III1.
.
III2.
.
III3.
.
III4.
.
Из этих свойств вытекает ряд дальнейших фактов, связанных с рассмотренными операциями над векторами. Отметим некоторые из них, часто применяемые при решении задач.
а) Если M - такая точка отрезка AB, что |AM| : |BM| = k, то для любой точки O справедливо равенство
, в частности если M - середина отрезка AB, то
.
б) Если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то
; кроме того, для любой точки O справедливо равенство
(обратные теоремы также справедливы).
в) Пусть M - точка прямой l и - ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Точка A в том и только в том случае принадлежит прямой l, если (где k - некоторое число).
г) Пусть M - точка плоскости α и , - ненулевые и непараллельные между собой векторы, параллельные этой плоскости. Точка A в том и только в том случае принадлежит плоскости α, если вектор выражается через и , т.е. .
Наконец, отметим еще свойство размерности, выражающее тот факт, что пространство трехмерно.
IV. В пространстве существуют такие три вектора , , , что ни один из них не выражается через два других; любой четвертый вектор выражается через эти три вектора: .
Например, если , , - три ненулевых вектора, направленных вдоль ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, то эти векторы , , обладают свойством IV (рис. 7).
Рис. 7
V. Скалярное произведение
векторов
и определяется равенством:Следующие 4 соотношения (справедливые для любых векторов , , и любого числа ) выражают основные свойства операции скалярного умножения векторов:
V1.
,V2.
.V3.
V4. Если
, то (здесь через обозначено скалярное произведение вектора на себя).Заметим в связи со свойством V4, что число
равно квадрату длины вектора , т. е. .Со скалярным произведением связано понятие ортогональности: два вектора и называются ортогональными, если . Иначе говоря, если векторы и ортогональны, то либо они оба ненулевые и образуют прямой угол, либо хотя бы один из этих векторов равен
