Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 41

 не равна безусловной P{A}, однако могут быть случаи, когда P{A/B} = P{A}. В этом случае говорят, что событие A независимо от события B.

Найдем вероятность события AB. Чтобы произошло событие ABнужно, во-первых, чтобы произошло событие B, а во-вторых, чтобы наступило событие A при условии, что событие B наступило.

Рассмотрим классическую схему вероятности. Имеется n элементарных равновероятных событий. Событию A благоприятствуют какие-то j из них, событию B благоприятствует k и m - событию AB. Согласно определению P{A/B} = m/n = k/n · m/k. Но первый множитель правой части этого равенства равен P{B}, а второй – вероятность события A при условии, что B наступило. Таким образом, P{AB} = P{B}·P{A/B}. Точно такими же рассуждениями доказываем, что P{AB} = P{A}·P{B/A}. Из этих равенств, носящих название теоремы умножения вероятностей, вытекает, во-первых, что если A независимо от B, то и B независимо от A. Во-вторых, следует равенство P{A/B} = P{AB}/ P{B}.

Для общего определения вероятности равенство P{A/B} = P{AB}/ P{B} служит определением условной вероятности. Ясно, что и в этом случае имеет место теорема умножения, которая является второй основной теоремой.

Третьей основой вычислений в теории вероятностей служит так называемая формула полной вероятности. Пусть события A_>1,A_>2,...,A_>5 попарно несовместны и пусть событие B наступает только в том случае, когда происходит одно из событий A_>j. В этом случае имеет место равенство B = BA_>1 + BA_>2 + ... + BA_>5.

Отсюда

.

В развитии теории вероятностей важную роль играла и продолжает играть так называемая схема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти событие A с одной и той же в каждом из испытаний вероятностью p и не произойти с вероятностью q = 1 - p. Вероятность того, что при этом событии A появится ровно m раз, а событие Ā (не A) n-m раз, вычисляется по формуле

.

При больших n вычисления по этой формуле довольно сложны и технически трудны; для этого обычно используют приближенную формулу (локальную теорему Муавра-Лапласа), согласно которой

.

В теоретических и прикладных задачах часто приходится находить суммы вида

. При больших n, a и b такие вычисления требуют значительных усилий. Для их приближенного вычисления используется интегральная теорема Муавра - Лапласа, согласно которой

, , .

Обе теоремы дают очень высокую точность. Они относятся к так называемым предельным теоремам теории вероятностей.

Швейцарский математик Я. Бернулли (1654-1705) обнаружил фундаментальный факт теории, получивший название закона больших чисел в форме Бернулли. Пусть