Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 58

S_>1000 ≈ 7,48, а S_>1000000 ≈ 14,39.

Более того, Эйлер установил замечательную зависимость для частичных сумм гармонического ряда, показав, что существует предел разности S_>n - ln n, т.е.

Число C в его честь называется постоянной Эйлера, она приближенно равна 0,5772 (сам Эйлер, исходя из других соображений, вычислил C с точностью до 15 знаков).

Представим себе «лесенку», сложенную из n одинаковых кирпичей, следующим образом: второй кирпич подложен под первый так, что центр тяжести первого приходится на правый край второго, затем под эти два кирпича подложен третий так, что общий центр тяжести первых двух приходится на правый край третьего и т.д. (рис. 1). У такой «лесенки» центр тяжести проецируется в точку A, следовательно, «лесенка» не упадет. Если длина кирпича l, то 1-й окажется сдвинутым относительно 2-го на l/2, 2-й окажется сдвинутым относительно 3-го на l/4, (k+1)-й относительно k-го на l/2k, и вся «лесенка» будет сдвинута вправо на

Δ_>n = l/2(1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/(n-1)).

Рис. 1

Выражение в скобках есть частичная сумма S_>n-1 гармонического ряда. Следовательно, указанным способом можно сложить «лесенку», сдвинутую сколь угодно далеко вправо. Однако, как было замечено, Δ_>n растет очень медленно. Например, если сложить 1000 кирпичей, то Δ_>1000 составит всего лишь 3,8 длины кирпича.

Геометрической прогрессией называют последовательность (b_>n), у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное (для данной прогрессии) число q ≠ 0. Число q называют знаменателем прогрессии. Другими словами, геометрическая прогрессия – это последовательность, заданная по правилу: b_>1 и q даны, b_>n+1 = q·b_>n при n ≥ 1. Случай, когда b_>1 = 0, малоинтересен: получается последовательность из одних нулей. Поэтому в определение геометрической прогрессии часто включают условие b_>1 ≠ 0.

Каждый член геометрической прогрессии с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому последующего, и предыдущего членов:

Справедливы следующие формулы (через S_>n обозначена сумма первых n членов геометрической прогрессии):

b_>n = b_>1q^>n-1, (1)

При q = 1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической прогрессией, при этом S_>n = nb_>1.

При |q|<1 существует предел суммы первых n членов геометрической прогрессии при n → ∞, называемый суммой бесконечно убывающей прогрессии. Из формулы (2) нетрудно усмотреть, что этот предел равен S = b