Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 59

В своих сочинениях древнегреческий ученый Архимед неоднократно возвращался к вопросу о вычислении сумм прогрессий. Например, в трактате «О квадратуре параболы» он рассматривает задачу, эквивалентную задаче о нахождении суммы бесконечно убывающей прогрессии a,b,c,d,e,..., знаменатель которой равен 1/4. Архимед решает эту задачу так: из определения прогрессии имеем a = 4b, b = 4c, c = 4d, ..., поэтому

b + c + d + e + ...1/3(b + c + d + e + ...) =

4/3(b + c + d + e + ...) = 1/3(4b + 4c + 4d + 4e + ...) =

1/3(a + b + c + d + ...)

откуда b + c + d + e + ... = 1/3 a и a + b + c + d + e + ...= 4/3 a.

Если q > 1, то члены геометрической прогрессии быстро растут. В результате при сравнительно небольших номерах n получаются числа-гиганты. С древнейших времен известны задачи и легенды, связанные с неправдоподобной на первый взгляд скоростью роста членов геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16 …. Одна из наиболее известных легенд – легенда об изобретателе шахмат.

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую два, за третью еще в два раза больше, т. е. четыре, за четвертую – еще в два раза больше и т.д. Эта задача привлекла внимание Л. Н. Толстого. Приведем часть его расчета (шахматная доска здесь названа шашечницей): «Клеток в шашечнице 8 с одной стороны и 8 с другой; 8 рядов по 8 = 64

на 1-ю 1,     на 33-ю 4 294 967 296

на 2-ю 2,     на 34-ю 8 589 934 592

на 3-ю 4,     на 35-ю 17 179 869 184

на 4-ю 8,     на 36-ю 34 359 738 368

………………………………………………

на 62-ю    2 305 843 009 213 693 952

на 63-ю    4 611 686 018 427 387 904

на 64-ю    9 223 372 036 854 775 808

Если 40 000 зерен в одном пуде, то на одной последней клетке вышло 230 584 300 921 369 пудов». Общее число зерен составит число 18 446 744 073 709 551 615.

Формулы (1), (2), (3) остаются справедливыми и для геометрических прогрессий с комплексными числами. Например, с помощью формулы (3) для прогрессии, у которой

q = b_>1 = cos φ + i sin φ,

и формулы Муавра

(cos φ + i sin φ)^>n = cos nφ + i sin nφ

легко получить формулы

Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее и наименьшее значение, принято называть задачами «на экстремум» (от латинского слова extremum - «крайний») или задачами «на максимум и минимум» (от латинских maximum и minimum – соответственно «наибольшее» и «наименьшее»). Такие задачи часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной деятельности людей.