Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 60

Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов? Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объем был наибольший? В каком месте следует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?

Эти задачи (им легко можно придать геометрический вид) имеют большое практическое значение. С их помощью можно решить важный во всяком деле вопрос, как, по словам русского математика П. Л. Чебышева, «располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды». Уметь решать подобные задачи очень важно, и поэтому они привлекают большое внимание математиков.

Самая простая и, вероятно, самая древняя геометрическая задача на экстремум такая: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение ее было известно древнегреческой математике. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида (см. Евклид и его «Начала»), где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Доказательство очень простое, оно основано на сравнении площадей (рис. 1). Площадь прямоугольника равна S_>0 + S_>1, а площадь квадрата S_>0 + S_>2 и S_>1 < S_>2, если x < a. Таким образом, мы получаем, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. В решении Евклида, во-первых, указан ответ (квадрат) и, во-вторых, доказано, что по площади он превосходит все другие возможные фигуры (прямоугольники данного периметра). Именно так понимается в математике решение задачи на экстремум: дать ответ и доказать его экстремальное свойство.

Рис. 1

Рассмотренная задача относится к широкому классу геометрических задач на экстремум так называемым изопериметрическим задачам, в которых фигура с экстремальным свойством отыскивается среди других с равным периметром. Изопериметрические задачи рассматривались древнегреческим математиком Зенодором, жившим во ІI-I вв. до н.э. Ему приписывают, например, доказательство следующих утверждений:

из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;

из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше.

Зенодор также формулирует изопериметрическое свойство круга: из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг, но полным доказательством этого свойства греческая математика не располагала. Строгое доказательство было дано только в XIX в.