Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 66
Рис. 2
Решение. Обозначим через P одну из сторон угла, а через Q - круг, границей которого является рассматриваемая окружность. При симметрии s относительно биссектрисы угла луч P переходит в луч P', который образует вторую сторону угла, а круг Q переходит в себя: s(P) = P', s(Q) = Q. Согласно свойству сохранения пересечения фигура P ∩ Q переходит в s(P) ∩ s(Q), т. е. в P'∩Q. Иначе говоря, отрезок AB переходит в отрезок CD, и потому |AB|=|CD|.
Задача 2. Через точку A, данную внутри угла (меньшего, чем развернутый), провести прямую, отрезок которой, заключенный между сторонами угла, делится в этой точке пополам.
Решение. Обозначим через z симметрию относительно точки A, а через P и Q - прямые, на которых лежат стороны угла (рис. 3). В результате симметрии z прямая P переходит в параллельную ей прямую P' которая пересекает вторую сторону угла в точке C. Так как C ∈ P', то точка D, симметричная C, принадлежит прямой, которая симметрична P', т.е. D ∈ P. Таким образом, точки D ∈ P и C ∈ Q симметричны относительно A, и потому отрезок CD делится в точке A пополам, т.е. прямая CD - искомая.
Рис. 3
Нетрудно понять, почему в задаче 1 была применена осевая, а в задаче 2 – центральная симметрия. Так как биссектриса угла – его ось симметрии, то попытка применить осевую симметрию в задаче 1 совершенно естественна (так же, как и применение центральной симметрии в задаче 2, поскольку отрезок CD должен делиться в точке A пополам, т.е. искомые точки C и D должны быть симметричными относительно точки A). И в других случаях анализ условия задачи позволяет найти движение, применение которого дает решение.
Задача 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC построены вне его квадраты ABMQ и BCPN. Доказать, что отрезок MN перпендикулярен медиане BD треугольника ABC и вдвое длиннее этой медианы.
Решение. Попытаемся применить поворот на 90°, т. е. убедиться, что при повороте на 90° вокруг точки B (по часовой стрелке) отрезок MN перейдет в отрезок, параллельный BD и имеющий вдвое большую длину. При этом повороте вектор
Рис. 4
Весьма существенна связь движений с ориентацией. На рис. 5 изображен многоугольник F, на контуре которого задано положительное направление обхода (против часовой стрелки). При параллельном переносе получается многоугольник с тем же направлением обхода, т.е. параллельный перенос сохраняет направление обхода, или, как говорят, сохраняет ориентацию. Поворот (в частности, центральная симметрия, представляющая собой поворот на 180°) также сохраняет ориентацию (рис. 6). Напротив, осевая симметрия меняет направление обхода на противоположное (рис. 7), т.е. меняет ориентацию. Другой пример движения, меняющего ориентацию – скользящая симметрия, т.е. композиция симметрии относительно некоторой прямой