Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 74

 (центр инверсии) не имеет образа при этом преобразовании, но если точка A приближается к O (не совпадая с ней), то соответствующая точка A' неограниченно удаляется от O. На этом основании условились считать, что на плоскости существует одна несобственная точка ∞, и при инверсии с центром O точка O переходит в ∞, а ∞ переходит в O. Плоскость, пополненная точкой ∞, называется круговой плоскостью (в отличие от проективной плоскости, которая получается присоединением не одной, а бесконечно многих несобственных точек). Теперь инверсия становится взаимно-однозначным преобразованием плоскости (круговой).

Рис. 27

Рис. 28

Помимо того что инверсия переводит систему всех прямых и окружностей снова в эту же систему, инверсия обладает еще рядом замечательных свойств, делающих ее важным инструментом при решении ряда геометрических задач. Основным из них является то, что инверсия сохраняет углы: если две линии l и m пересекаются под углом φ (т.е. угол между касательными к этим линиям в их общей точке равен φ), то образы l' и m' этих линий пересекаются под тем же углом φ. Если, в частности, окружность l ортогональна окружности инверсии, т.е. пересекает ее под прямым углом (о таких окружностях шла речь в конце статьи Лобачевского геометрия), то при инверсии эта окружность l переходит в себя (только части ее, лежащие внутри и вне окружности инверсии, меняются местами). Инверсия является важнейшим из круговых преобразований: можно доказать, что любое круговое преобразование плоскости является либо инверсией, либо подобием, либо композицией инверсии и подобия. Вместе взятые, круговые преобразования составляют группу преобразований, которая определяет на круговой плоскости своеобразную геометрию («круговую»).

Мы рассказали о наиболее важных геометрических преобразованиях плоскости. Можно рассматривать также геометрические преобразования трехмерного пространства, плоскости (или пространства) Лобачевского и других геометрических объектов. Заметим, в частности, что если f - движение трехмерного пространства R^>3, переводящее плоскость α ⊂ R^>3 в некоторую плоскость β, a p - центральное проектирование плоскости β на α из некоторой точки O (не принадлежащей плоскостям α и β), то композиция p ∘ f представляет собой проективное преобразование плоскости α (поскольку и f, и p переводят прямую снова в прямую). Оказывается, что в таком виде можно представить любое проективное преобразование плоскости α.

Знакомство с геометрическими преобразованиями и умение применять их является важным элементом математической культуры.