>2 = −1, точка повернется на 180 градусов, если на
i>3 = −
i, точка повернется на 270 градусов, а если на
i>4 = 1, точка вернется в исходную позицию.
Теперь давайте возьмем произвольное положительное число a. Оно находится на действительной оси комплексной плоскости. Умножив a на −1, получим ответ: –a. Это число тоже размещено на действительной оси, но с противоположной стороны от 0. Умножим его на −1 еще раз, и оно вернется к значению a. Однако если мы умножим a на i, ответ будет ai. Число повернулось на 90 градусов и теперь расположено на мнимой оси. Если мы снова умножим на i, число переместится в позицию –a, снова вернувшись на действительную ось. Таким образом, комплексная плоскость обеспечивает возможность представить умножение на отрицательные числа, которое сводится к перемещению вперед-назад, в виде умножения мнимых чисел посредством последовательности перемещений по кругу. Этот процесс не только позволяет глубже постичь сущность чисел, но и предоставляет в наше распоряжение мощный язык для описания вращающихся объектов.
Во многих областях науки, в том числе в физике элементарных частиц, электротехнике и радиолокации, комплексная плоскость используется для описания процесса вращения. В действительности волновое уравнение Шредингера (основное уравнение квантовой механики) содержит мнимое число i[134]. Это уравнение описывает вероятность обнаружения субатомной частицы в определенном месте. Разумеется, вероятность любого события должна находиться в пределах от 0 до 1, или от 0 до 100 процентов. Однако лучший способ понять зависимость между вероятностями частиц сводится к тому, чтобы считать эти вероятности числами на комплексной плоскости. В данном случае вместо сложения вероятностей как действительных чисел эти вероятности усиливают или нейтрализуют друг друга в зависимости от их относительного положения в процессе вращения.
Благодаря таким уравнениям, как уравнение Шредингера, физики теперь используют мнимые числа для описания природы самой материи. В итоге математикам больше не нужно терзаться по поводу того, есть ли у мнимых чисел какой-либо внешний смысл или нет. В наше время говорить, что число 2 + 3i находится на комплексной плоскости, так же естественно, как и то, что число −2 расположено на числовой оси.
Комплексная плоскость позволяет по-новому взглянуть на тождество Эйлера, но для этого я должен познакомить вас с альтернативной системой координат для комплексных чисел. Как мы уже видели, в стандартной системе комплексному числу a + bi соответствует точка на плоскости с координатами (