У основания «Долины морского конька» есть точка −0,75. В 1991 году математик Дэйв Болл пытался доказать, что непосредственно над ней нет узников, поэтому стал выполнять итерацию точек, которые находились все ближе и ближе к этой точке[138]. Болл начал с точки –0,75 + 0,1i, осуществив столько итераций, сколько было необходимо, чтобы комплексное число оказалось больше чем за две единицы от начала координат, поскольку как только исходная точка достигает двух единиц от начала координат, она гарантированно становится беглецом. Затем он сделал то же самое с точкой –0,75 + 0,01i и т. д., после чего составил такую таблицу.
Мнимая часть/Количество итераций/Мнимая часть × количество итераций
0,1/33/3,3
0,01/315/3,15
0,001/3143/3,143
0,0001/31417/3,1417
0,00001/314160/3,14160
Вы видите, к чему стремится последнее значение? Все ближе и ближе к числу π.
В связи с множеством Мандельброта появилась масса вопросов, на которые пока нет ответов. Специалисты по занимательной математике долгие годы пытались понять, можно ли создать такое множество в трех измерениях. Поскольку трехмерной модели комплексной плоскости не существует, очевидного решения этой задачи нет. Тем не менее в 2009 году Дэниел Уайт, 31-летний учитель игры на фортепиано из Бедфорда, нашел вариант ответа, перенеся принципы умножения комплексных чисел с двумерной в трехмерную систему координат.
Точка на комплексной плоскости может быть определена ее расстоянием от начала координат и углом к горизонтальной оси.
Точно так же точка в пространстве может быть определена ее расстоянием от начала координат и двумя углами, один к горизонтальной оси, а второй — к вертикальной, подобно тому как точка на земном шаре определяется широтой (вертикальным углом) и долготой (горизонтальным углом).
Когда вы умножаете два комплексных числа, вы суммируете их углы и умножаете расстояния. Дэн представил умножение двух точек в пространстве как сумму двух горизонтальных углов, сумму двух вертикальных углов и умножение расстояний.
Вооружившись этим определением, Дэн Уайт построил трехмерное множество узников итерации z → z>2 + c. Результат был неутешительным. «Это напоминало взбитые сливки», — сказал он. Бесконечная живость, присущая множеству Мандельброта, ослабла, и Дэн пожаловался на это участникам интернет-форума для любителей фракталов. Прорыв произошел после того, как инженер-механик их Лос-Анджелеса Пол Ниландер предложил Дэну использовать итерацию z → z>8 + c. Это небольшое изменение превратило взбитые сливки в обросшую ракушками фрактальную планету с пещерами, как будто кружащими в водовороте горами и напоминающими звезды расщелинами. Объект получил название «оболочка Мандельброта». «Меня охватило благоговение, — признался Дэн. — Было ощущение, что открыта новая вселенная».