Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры (Беллос) - страница 138
Если бесконечность — это самое большое число, тогда какое число самое маленькое? В XVII столетии математики ввели новую концепцию под названием «бесконечно малая величина» — величина, которая меньше любой другой действительной величины, но все же больше ноля.
Бесконечно малая величина была и чем-то, и ничем: достаточно большая для применения в математике, но и достаточно малая, чтобы исчезнуть, когда вам это необходимо. Рассмотрим в качестве иллюстрации окружность, изображенную на рисунке ниже. В нее вписан двенадцатиугольник — фигура с 12 сторонами, состоящая из 12 идентичных треугольников с общей вершиной, совокупная площадь которых примерно равна площади круга. Если я построю в этой окружности многоугольник с большим числом сторон, содержащий большее количество более узких треугольников, их совокупная площадь еще сильнее приблизится к площади круга. Если я продолжу увеличивать количество сторон, в предельном случае я получу многоугольник с бесконечным количеством сторон, содержащих бесконечное количество бесконечно узких треугольников. Площадь каждого такого треугольника представляет собой бесконечно малую величину, но их совокупная площадь равна площади круга.
В предыдущих главах мы уже дважды встречались с немецким астрономом Иоганном Кеплером. Это именно он понял, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, и это он побывал на одиннадцати свиданиях, прежде чем нашел вторую жену. Когда Кеплер сделал предложение будущей фрау К., оставался такой пустяк, как организация свадебной церемонии. Покупая вино, ученый увидел, что виноторговцы определяют объем полной бочки вина, вставляя в нее по диагонали прут через наливное отверстие, расположенное посредине боковой стороны бочки. Это был грубый, приближенный метод, и он совсем не понравился Кеплеру, поскольку прут одной и той же длины подходил для бочек разных размеров, как показано на рисунке ниже.
Измерение объема винных бочек
Кеплер начал размышлять над тем, как точнее вычислить объем бочки, для того чтобы определить, в бочке какой формы было бы больше всего вина при фиксированной длине прута[143]. Вдохновленный идеями Архимеда, Кеплер разработал метод, в соответствии с которым разделил каждую бочку на бесконечное количество бесконечно малых фигур, объем которых можно было рассчитать. Затем он доказал, что для прута длиной l, проходящего от наливного отверстия до дальнего угла бочки, бочка будет иметь максимальный объем, если ее ширина равна
