Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры (Беллос) - страница 139

Бесконечно малые величины позволили разработать чрезвычайно эффективный метод определения касательной — линии, которая касается кривой в определенной точке, но не пересекает ее. Представьте, что нам необходимо найти касательную в точке Р к кривой, изображенной на рисунке ниже. Стратегия построения касательной состоит в том, чтобы провести приближенную прямую в соответствующей точке, а затем улучшать приближение до тех пор, пока она не совпадет с искомой прямой. Мы можем сделать это, нарисовав линию, проходящую через точку Р и пересекающую кривую в расположенной рядом точке Q, а затем смещать эту точку все ближе и ближе к точке Р. Когда точка Q совпадет с точкой Р, полученная линия будет касательной к данной кривой в точке Р.

Аппроксимация касательной

Как мы уже знаем, градиент прямой линии — это отношение расстояния, покрытого прямой по вертикали, к расстоянию по горизонтали, а градиент кривой в определенной точке — это градиент касательной в этой точке. Касательные интересовали математиков только из-за градиентов. На представленном выше рисунке градиент линии, проходящей через точки P и Q, равен ∆y/∆x. (Греческая буква ∆ («дельта») — это математический символ, которым обозначаются малые приращения.) По мере приближения точки Q к точке Р значение ∆y/∆x приближается к градиенту касательной в точке Р. Но здесь возникает одна проблема. Если точка Q действительно совпадет с точкой Р, тогда ∆y = 0 и ∆x = 0, а это значит, что градиент кривой в точке Р равен 0/0. Но ведь это некорректная математическая операция! Арифметические правила запрещают деление на ноль! Проблему можно решить, удерживая точку Q на бесконечно малом расстоянии от точки Р. Сделав это, мы сможем сказать, что, когда точка Q приближается к точке Р на бесконечно малое расстояние, значение ∆y/∆x становится бесконечно близким к градиенту кривой в точке Р.

В 1665 году Исаак Ньютон, недавно окончивший Кембридж, вернулся в дом своей матери в Линкольншире[144]. «Черная смерть» уничтожала город за городом по всей Британии. Университет закрыли, чтобы защитить его персонал и студентов. В доме матери Ньютон устроил себе небольшой кабинет и начал записывать свои математические идеи в огромный дневник, который назвал «черновиком». На протяжении следующих двух лет Ньютон вел образ жизни отшельника и, ни на что не отвлекаясь, вывел новые теоремы, которые легли в основу Philosophiae Naturalis Principia Mathematica[145] — опубликованного в 1687 году трактата, изменившего наше понимание физической Вселенной в большей степени, чем любая другая работа до или после этой книги. В ней Ньютон описал систему законов природы, объясняющую, почему различные объекты, от падающих с дерева яблок до планет, вращающихся вокруг Солнца, двигаются именно так, а не иначе. Однако открытия, сделанные Ньютоном в физике, требовали столь же фундаментального прорыва в математике. Он формализовал работу по бесконечно малым величинам, выполненную за предыдущие полстолетия, объединив ее результаты в общую систему с унифицированными обозначениями. Ньютон назвал ее