Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры (Беллос) - страница 152

Чем меньше радиус окружности, тем больше ее кривизна

Кривизна окружности с радиусом r равна

в любой точке окружности. С другой стороны, кривизна кривой (такой как на нижнем рисунке) постоянно меняется по мере перемещения по ней. Для того чтобы вычислить кривизну кривой в любой ее точке, необходимо построить «наиболее подходящую» окружность, которая касается кривой и максимально приближена к ней в этой точке. Я нарисовал максимально приближенные окружности в точках А и В. Поскольку радиусы этих окружностей — а и b, кривизна кривой в точке А равна , в точке В — . Чтобы понять концепцию максимально приближенной окружности, можно представить себе, что кривая — это дорога. Вы едете по ней на автомобиле, и у вас заклинивает руль, скажем, в точке А. Если вы продолжите движение, его траектория и будет представлять собой максимально приближенную окружность в точке А.

Таким образом, идея Холбрука состояла в том, чтобы делать часть дороги в форме кривой, кривизна которой увеличивается линейно по мере перемещения по этому участку, поскольку именно на такой кривой объект находится под воздействием центростремительной силы, растущей по линейному закону[151]. Возможно, Холбрук даже не знал о том, что, по сути, описывает знаменитую кривую, впервые изученную Леонардом Эйлером в XVIII столетии. Речь идет о кривой под названием «клотоида»[152], которая изображена на рисунке ниже.

Клотоида

Начиная с конца XIX века клотоида (или, скорее, ее центральный фрагмент) стала стандартной переходной кривой на железных дорогах. Представьте себе, что участок прямой дороги трансформируется в такую кривую в точке 0 и далее следует вдоль нее. Кривизна постепенно увеличивается до тех пор, пока не сравняется с кривизной кругового участка. Когда в ХХ столетии на доминирующие позиции вместо поезда вышел автомобиль, клотоида по той же причине превратилась в основной элемент проектирования дорог[153]. Это самая подходящая кривая для езды на автомобиле между прямым и круговым участками дороги. Сеть автомагистралей — живой музей клотоид. Эти характерные кривые до сих пор используются в качестве формы поворотов на автомагистралях, скользких дорогах и особенно часто — на многоуровневых дорожных развязках с множеством переходов от прямых к круговым участкам. Если бы вы были инопланетянином, пролетающим на низкой высоте над сельской местностью, испещренной автомобильными дорогами и железнодорожными путями, вы вполне могли бы прийти к выводу, что клотоида — любимая кривая человечества.

Клотоида также решила проблему проектирования аттракционов, позволив найти ответ на вопрос, какова самая безопасная форма американских горок с мертвой петлей. В середине XIX века парижский инженер М. Клавьер сконструировал аттракцион, на котором одна вагонетка съезжала вниз по прямому участку, а затем делала резкий кувырок вдоль петли высотой почти четыре метра, прежде чем выйти на прямой участок поменьше, ведущий вверх к конечной остановке