Фреге разработал систему, в которой числа определяются как множества, аксиомы записываются с использованием его системы исчисления понятий, а истинность арифметических законов может быть доказана. Он планировал свести арифметику к системе не допускающих двойного толкования логических операций, в основу которой положены исходные предположения, лишенные внутренних противоречий, — например «отрицание отрицания утверждения А означает утверждение А»[162]. Работа с такими концепциями, как числа и сложение, не вызывает никаких трудностей, поэтому вы можете подумать, что задача Фреге была не особо сложной. Но на самом деле она потребовала огромных умственных усилий. В отличие от всех своих предшественников, использовавших числа и арифметические операции в качестве кирпичей для строительства здания математики, Фреге сделал подкоп непосредственно под ее фундамент.
Готлоб Фреге опубликовал свою теорию в книге The Basic Laws of Arithmetic («Основные законы арифметики»), первый том которой вышел в 1893 году. Однако, когда второй том уже находился в типографии, Фреге узнал весьма неприятную новость. Профессор философии Кембриджского университета Бертран Рассел прислал ему письмо, в котором указывал на одно противоречие. Поскольку задача сведения арифметики к логике состояла в создании системы, полностью лишенной противоречий, найти хотя бы одно несоответствие было равносильно катастрофе. Фреге быстро написал к книге дополнение: «Вряд ли ученый может столкнуться с чем-либо более нежелательным, чем разрушение основ в тот момент, когда работа уже завершена». С тех пор слово «нежелательный», которое использовал тогда Фреге, называют величайшим преуменьшением в истории математики.
Рассел открыл проклятие самореференции (самоотносимости).
Ниже приведены некоторые из моих любимых утверждений, ссылающихся на самих себя[163].
предложение должно начинаться с большой буквы.
В вопросе «быть или не быть» скомбинированы два предложения.
В этом предложении !!! преждевременно поставлен знак препинания
Однако самое древнее самоотносимое предложение приписывают критянину Эпимениду, который сказал: «Все критяне лжецы». Эпименид не только ссылается сам на себя, но и сам себе противоречит. Если он говорит правду, значит, он лжет, а если лжет, тогда говорит правду. Высказывание Эпименида (которое назвали «парадоксом лжеца») получило множество новых интерпретаций. Дайте ответ «да» или «нет» на такой вопрос: «Будет ли следующее слово, которое вы скажете, словом “нет”?»
Бертран Рассел понял, что парадокс самореференции нанесет серьезный удар по проекту Фреге и, возможно, даже погубит его. Преимущество использования множеств в качестве основы арифметики состоит в том, что эту концепцию легко понять: множество — это просто совокупность объектов. Однако Рассел изобрел такое множество: