Какую же стратегию следует нам применять для численного моделирования эйнштейновских уравнений поля в вакууме? Подумаем, каким бы мог быть ответ на этот вопрос. Мы хотим найти численное представление метрики, описывающей геометрию пространства-времени. Вспомним, что метрика – это правило определения расстояния между любыми двумя точками. Дифференциальная геометрия позволяет нам сосредоточить внимание только на соседних точках. Так называемый метрический тензор описывает расстояние от данной точки до любой другой, достаточно близкой к ней. В практическом смысле метрический тензор – это матрица чисел размерностью 4 × 4. Получить точное решение уравнений поля означает иметь точное значение метрического тензора в каждой точке пространства-времени. Решения Шварцшильда и Керра для черной дыры обеспечивают эту информацию в виде очень сложных математических формул. В численных моделях точных формул нет, и, разумеется, мы не можем определить метрический тензор в бесконечно большом количестве точек пространства-времени. Поэтому мы делаем так: изолируем ту область пространства-времени, которая нас в первую очередь интересует (скажем, некоторую область вокруг пары черных дыр, которые вот-вот сольются) и заполняем ее сетью точек. Каждой из конечного числа точек этой сети мы хотим приписать приблизительное значение метрического тензора. Если вернуться к аналогии с медленно загружающимся видео, нашей целью является всё большее и большее измельчение сети точек на экране, и с каждым циклом улучшения мы хотим устанавливать всё более и более точные значения всех компонентов изображения (в нашем случае – метрики) в каждой точке сети. Коротко говоря, мы дискретизируем искривленное пространство-время, чтобы свести его к математической конструкции, с которой может работать компьютер. И суть нашей стратегии численного моделирования в том, чтобы эта дискретизация происходила со всё большим и большим пространственным разрешением сети на всё большем и большем числе точек. Сегодня в типичной масштабной задаче численного моделирования задействованы сотни миллионов или даже миллиарды точек сети.
Наложить ограничения на уравнения Эйнштейна в вакууме означает, что пространство-время не может искривляться любым способом, но только в соответствии с определенными условиями, которые определяют, как именно растягивается и сжимается метрика в соседних точках пространства. Исходные уравнения Эйнштейна – это дифференциальные уравнения, а это значит, что «соседние» следует понимать как «сколь угодно близкие». Когда мы имеем дело с дискретизированным пространством-временем, приходится немного изменять уравнения Эйнштейна так, чтобы они стали теми правилами, по которым метрика в данной точке растягивает и сжимает метрику в соседних точках сети