Порядок из хаоса (Пригожин, Стенгерс) - страница 221
Рис. 34. Типичная эволюция в фазовом пространстве ячейки, соответствующей системе с перемешиванием. Объем по-прежнему сохраняется, но форма уже не остается неизменной: ячейка постепенно размазывается по всему фазовому пространству.
Продемонстрируем различие между устойчивыми и неустойчивыми системами на нескольких простых примерах. Рассмотрим двухмерное фазовое пространство. Через одинаковые промежутки времени станем производить преобразования координат, при которых старая абсцисса р переходит в новую абсциссу р—q, а старая ордината q — в новую ординату р. На рис. 35 показано, что произойдет, если применить эти преобразования к квадрату: квадрат деформируется, но после шестикратного действия преобразования мы возвращаемся к исходному квадрату. Система устойчива: соседние точки преобразуются в соседние. Кроме того, рассмотренное нами преобразование циклическое (после шести операций восстанавливается исходный квадрат).
Рис. 35. Преобразование объема в фазовом пространстве, порождаемое дискретным преобразованием: абсцисса р переходит в р—q, ордината q переходит в р. Преобразование циклическое: после шестикратного повторения преобразования исходная ячейка переходит в себя.
Рассмотрим теперь два примера сильно неустойчивых систем. Первый пример чисто математический, второй имеет непосредственное отношение к физике. Первая система — преобразование, названное математиками по понятным соображениям преобразованием пекаря. Берется квадрат и сплющивается в прямоугольник. Половина прямоугольника отрезается, накладывается на другую половину, а получившийся квадрат снова «раскатывается» в прямоугольник. Последовательность операций, представленная на рис. 36, может быть повторена сколько угодно раз.
Рис. 36. Реализация «преобразования пекаря» В и обратного преобразования В>-1. Траектории черной и белой точек позволяют понять, как происходит каждое преобразование.
Каждый раз квадрат разбивается на части, которые перекладываются в другом порядке. Квадрат в этом примере соответствует фазовому пространству. «Преобразование пекаря» переводит каждую точку квадрата в однозначно определенную новую точку. Хотя последовательность точек-образов вполне детерминистична, «преобразование пекаря» обнаруживает также статистические свойства. Пусть начальное условие для системы состоит в том, что область А квадрата первоначально равномерно заполнена представляющими точками. Можно показать, что, после того как преобразование будет повторено достаточное число раз, начальная ячейка А, каковы бы ни были ее размеры и расположение в квадрате,