Центробежные насосы нефтепереработки (Ефанов) - страница 12

Обобщенной силой является сила, которая полностью определяет действующую систему сил.

Обобщенная координата и сила связаны формулировкой: в результате произведения приращения обобщенной координаты на обобщенную силу получается работа.

Движение вала с мешалкой описывается уравнениями в обобщенных координатах. Между обобщенными координатами и декартовыми координатами всегда существует зависимость в виде функции декартовых координат от обобщенных координат.

Из общего уравнения движения системы, полученного в декартовых координатах, получают уравнение движения в обобщенных координатах. В результате получается запись:

Для кинетическая энергия системы

находится производная по обобщенным координате и скорости и после преобразований:

Уравнение движения запишется в виде

Силы, действующие на вал, зависят только от положения и не зависят от времени, скорости. В этом случае, согласно теоремы Кастильяно, обобщенная сила равна производной потенциальной энергии (при этом совершаемая работа переводит потенциальную энергию в кинетическую):

По теореме Кастильяно [17,с.319] прогиб точки приложения сосредоточенной силы (P) равен частной производной потенциальной энергии деформации по этой силе, а производная потенциальной энергии деформации по обобщенной силе равна обобщенному перемещению:

В результате получается уравнение движения Лагранжа:

__

Равновесное положение системы вала принимается за начало обобщенных координат, т.е.

Кинетическая и потенциальная энергии системы:

-

коэффициенты инерции,

– коэффициенты жесткости.

Существует форма записи обобщенного закона Гука [5,с.314], связывающая все силы и перемещения:

В условиях равновесия:

С учетом этого, уравнение Лагранжа можно записать в виде системы линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Частными решениями уравнений системы будут уравнения:

В частных решениях (j = 0, 1,2,3…s):

Частным решениям соответсвуют резонансные частоты колебаний.

Для неизвестных

получают систему линейных однородных уравнений подстановкой полученного частного решения в приведенную систему уравнений (основные уравнения система малых колебаний с s степенями свободы):

Полученная система уравнений имеет решение, отличное от нуля в случае равенства нулю определителя этой системы.

На этом основании записывается вековое уравнение (уравнение частот). Вековое уравнение является уравнением s-степени относительно :

Искомые частота колебаний р и амплитуды μ, возникающие при этой частоте (k = 1,2,3…n), находятся из:

– основных уравнений системымалых колебаний с s степенями свободы,