Центробежные насосы нефтепереработки (Ефанов) - страница 13

– векового уравнения.

Вековое уравнение является уравнением s степени относительно k^>2. И из этого уравнения находятся все частоты свободных колебаний k системы.

Так как определитель Δk_>2 = 0, одно из уравнений системы при μ = 1 является следствием других уравнений системы. Последовательно подставляя в уравнения системы все полученные значения k^>2 получается система уравнений:

Находятся значения коэффициентов μ:

– определитель матрицы, получаемый вычеркиванием из определителя

первых столбца и строки.

– минор элемента первой строки и

j

–го столбца со знаком (-1) основного

определителя

– коэффициенты распределения равные 1.

В результате частные решения первой системы уравнений:

– первое главное колебание с частотой

k

_>1

и начальной фазой β

_>1

.

– второе главное колебание с частотой

k

_>2

>

k

_>1

и начальной фазой β

_>2

.

– третье главное колебание с частотой

k

_>3

>

k

_>2

и начальной фазой β

_>3

.

…..

Коэффициенты

– форму первого главного колебания,

– форму второго главного колебания,

– форму третьего главного колебания,

и т.д.

Общее решение первой системы уравнений можно получить суммированием частных решений:

2s неизвестные постоянных

На основании приведенного выше, алгоритм полного исследования свободных колебаний системы с s степенями свободы состоит из следующих действий:

а) нахождение частот свободных колебаний k_>1, k_>2 … k_>s из векового уравнения,

б) нахождение коэффициентов распределения

в) нахождения амплитуд

Применение программы MathCAD

Яблонский отмечает [15,с.143] если число степеней свободы превышает 4, то для полного решения задачи потребуется громадная вычислительная работы.

Однако, в настоящее время возможно применение математических пакетов таких как MathCAD.

Программа MathCAD позволяет для матриц выполнять нахождение определителя, решать матричные уравнения. Применение этой программы исключает выполнение громоздких ручных расчетов и позволяет по приведенному выше алгоритму получать точное решение без каких-либо приближенных методов.

MathCAD позволяет выполнять с матрицами символьные вычисления.

Для решения матричного уравнения типа:

необходимо записать матрицу

вставить определитель

, вызвать команду «→».

В результате получается запись многочлена из определителя. Многочлен копируется в отдельное место. Выделяют переменную «Х» в многочлене и в панели инструментов выбирают полиноминальный коэффициент. В результате этого получится матрица с коэффициентами из полученного многочлена:

Затем вызывается или записывается вручную команда polyroots, в которую добавляется полученная матрица в виде: