Сначала село называлось Муслюмово (по имени старшего среди переселенцев Муслюма Каныбекова). А позднее приняло название от речки Бозауязы (Бузовьязы) – Бозаяз.
Село стало быстро расти. Уже в 1795 году в нем насчитывалось 60 домов и 322 жителя; в 1859 году, через 100 лет со времени основания, – 212 дворов и 1490 жителей. К 1902 году Бузовьязы – крупное торговое н мельничное село с населением более 25тысячи человек, и 460 дворов. А к 1920 году здесь насчитывалось уже 957 домов и 3748 жителей.
Первые годы истории села связаны с именем известного повстанца, сподвижника Емельяна Пугачева – Канзафара Усаева. Он после учебы в медресе был направлен муллой в Бозаяз, а затем назначен здесь сотником.
С началом пугачевского восстания, будучи направлен под Оренбург во главе сотни воинов на подавление начавшегося бунта, Усаев со своими джигитами примкнул к Пугачеву. После подавления восстания он был пленен и сослан вместе с Салаватом Юлаевым и его отцом в Рогервик – крепость-порт на Балтийском море. Лично участвовал в похоронах Салавата и его отца.
А в то время в Бозаязе жили и управляли селом старшины Мохсин Абдусалямов и Ишмухамет Сулейманов. События тех лет можно сравнить с локальной гражданской войной Идеи цели и движущие силы те же: изменение существующего строя, завоевание земли и воли. Трагедия людских судеб, братоубийственные схватки, сожженные городки и села, возникновение стихийных местных отрядов, ополчения горожан, классовое расслоение…
Как видно из ведомости Уфимской провинциальной канцелярии того периода, под началом Абдусалямова было 79 человек, у Сулейманова – 226.
В основном это были люди из Бозаяза.
Старшины Мохсин Абдусалямов и Ишмухамет Сулейманов всегда были верны властям, вели беспощадную борьбу с пугачевцами. Мохсин ранее участвовал также в поимке и захвате Батырши – предводителя восстания против царизма в 1755 году. Ишмухамет Сулейманов был награжден золотой медалью «за заслуги перед властями в искоренении бунтовщиков».
В первой половине XIX века Бозаяз становится местом прерывания начальника 2-го кантона, иногда и объединенных 2-го и 3-го мишарских кантонов. Сама деревня входила в первую юрту 2 кантона. В 30-х годах XIX столетия начальником кантона был сотник Фазлулла Резяпов. В 40-х годах это место занял его сын Шагибек. Потом Бозаяз стал центром волости, где старшинами были Салимгарей (так и звали его – Салимгарей-старшина) и Шагизиган Мустаев.
Многие жители занимались извозом между Оренбургом и Уфой. Бозаязовцы всегда гордились своими хорошими ездовыми лошадьми, красивой и прочной сбруей, добротными телегами и санями. Обычно в поездку выходили две подводы: в одной сидел хозяин, вторая двигалась впереди. Каждая поездка длилась неделями. Так старательные жители села укрепляли свое экономическое благосостояние.