В природе часто встречаются структуры в форме пятиконечной звезды, такие как морская звезда.
Фракталы и золотое сечение
В первой главе мы видели два выражения для Ф: в виде цепной дроби и в виде корня из других корней:
Если продолжить запись одного из этих выражений, то мы получим дробь от дроби, корень от корня и так до бесконечности. Однако посмотрим на последний член выражения, как будто бы в микроскоп. Какой бы член мы ни взяли, он будет в точности похож на исходное выражение. Это мысленное упражнение приводит нас в мир фракталов.
Теория фракталов появилась в 1975 г. с публикацией статьи «Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность» академика Бенуа Мандельброта (1924–2010). В предисловии автор объясняет, что термин «фрактальный объект» и «фрактал» происходит от латинского прилагательного fractus, что значит «разбитый, дробленый», или, лучше сказать, «дробный». Два года спустя в книге «Фрактальная геометрия природы» Мандельброт представил новое определение: «множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности». Далее мы попытаемся пояснить эту идею.
Как мы помним, классические геометрические объекты имеют целочисленные размерности: точка имеет размерность ноль, прямая — 1, плоскость — 2, а пространство — 3. Фракталы, напротив, имеют дробную размерность. С нецелой размерностью фракталы не могут обладать «нормальным» объемом и площадью. В фрактальной вселенной такое вполне допустимо. Фрактал размерности более 1 и менее 2 — это поверхность, не ограниченная кривой, или группа прямых линий, не являющаяся двумерной плоскостью.
Бенуа Мандельброт, математик, создатель фрактальной геометрии
Такой является кривая Коха, получаемая в результате повторяющихся геометрических построений, как мы увидим ниже. Если фрактальная размерность находится между 0 и 1, как в так называемом множестве Кантора, то получается множество точек на линии, которые не образуют прямую линию, хотя таких точек бесконечное количество и они бесконечно близки друг к другу. В результате получается забавный геометрический парадокс.
Одной из характерных особенностей фракталов является самоподобие. Другими словами, они сохраняют одну и ту же форму при увеличении или уменьшении размера. Будем ли мы смотреть на них с близкого расстояния или издалека, в целом или на какую-то часть, мы всегда будем видеть одно и то же.
Фрактальные снежинки
Кривая Коха — это фрактал, также называемый «снежинкой Коха» из-за стилизации формы снежинки. Это один из первых фрактальных объектов, описанный в 1906 г. шведским математиком Хельге фон Кохом (1870–1924) задолго до того, как эти объекты получили сегодняшнее название. Давайте посмотрим, как строится кривая Коха и какими свойствами она обладает.