Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) (Корбалан) - страница 60

Возьмем равносторонний треугольник и разделим каждую сторону на три равных отрезка. Затем удалим центральную часть на каждой стороне и построим извне равносторонний треугольник со сторонами, равными центральному отрезку, который мы удалили.

Будем повторять этот процесс для каждого построенного маленького равностороннего треугольника. Вскоре станет слишком трудно делать построения с помощью карандаша и бумаги, но компьютер может продолжать процесс очень долго.

Мы можем посчитать периметр и площадь «снежинки Коха». При каждом шаге мы заменяем отрезок длины 3(3 части) на 4 отрезка общей длины 4.

Таким образом, при каждом шаге начальная длина умножается на 4/3. Если изначальный периметр равностороннего треугольника был равен L, после n шагов длина кривой будет

L_>n = L∙(4/3)^>n.

Так как 4/3 больше 1, то значение этого выражения может быть сколь угодно большим! Или в математических терминах, длина кривой Коха, L_>n, стремится к бесконечности. Мы можем удлинять ее неограниченно.

Давайте посмотрим, что происходит с площадью. Предположим, что исходный треугольник имеет площадь А = 1.

Разобьем его на треугольники, сторона которых в три раза меньше исходной, то есть получим девять маленьких треугольников. Еще три треугольника были добавлены после первого шага, их общая площадь составляет 1/3 от первоначальной площади. Таким образом, мы имеем:

A_>1 = 1 + 1/3 = 4/3

Вокруг каждого маленького треугольника Т_>2 мы добавляем четыре еще более маленьких треугольника при следующем шаге, Т_>3, что составляет 4/9 площади трех треугольников Т_>2, которая, как мы видели, равняется трети от общей площади А_>1. Таким образом, при втором шаге мы добавили (4/9)∙(1/3).

Рассуждая аналогичным образом, мы видим, что при каждом из следующих шагов мы добавляем 4/9 от площади, добавленной при предыдущем шаге, так что наша общая площадь выражается так:

A = 1 + 1/3 + (4/9)∙(1/3) + (4/9)^>2∙1/3 + (4/9)^>3∙1/3 +…

Упростим это выражение. Вынесем общий множитель за скобки, а к выражению в скобках применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

A = 1 + (1/3)∙(1 + 4/9 + (4/9)^>2 +(4/9)^>3 +…) = 1 + (1/3)∙(1/(1 — (4/9)) = 1 + (1/3)∙(9/5) = 8/5 = 1,6.

Таким образом, после бесконечного числа шагов у нас получится кривая бесконечной длины, однако эта кривая ограничивает площадь, которая всего лишь в 1,6 раза больше площади исходного треугольника.

Размерность «снежинки» больше 1 и меньше 2. Давайте вспомним наш первый шаг: мы перешли от отрезка длины 3 к отрезку длины 4. Если бы мы остались на прямой, ее размерность была бы равна 1, потому что 3