Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) (Басса) - страница 18

Все это противоречило интуиции: подобную ситуацию нельзя было представить, не переосмыслив понятия прямой, плоскости и другие. Тем не менее с точки зрения логики новая геометрия была абсолютно корректной. Это вызвало крупный кризис в математике XIX в., который наложился на другие противоречия той эпохи. Как бы то ни было, в трудах Лобачевского и Бойяи было окончательно показано, что постулат о параллельности прямых не связан с остальными и что Евклид совершенно справедливо включил его в число постулатов, так как его нельзя логически вывести из предыдущих.

Немецкий математик Август Мёбиус (1790–1868), современник Бойяи и Лобачевского, известен благодаря ленте, носящей его имя. Чтобы сделать ленту Мёбиуса, достаточно взять полоску бумаги и соединить ее концы, повернув один из них на 180°. Если мы «пройдем» вдоль полученной поверхности, то обойдем всю ленту целиком и попадем в исходную точку, не переходя на «другую сторону», которой фактически не существует. Если мы разрежем ленту вдоль по линии, равноудаленной от краев, то получим не две ленты Мёбиуса, а одну в два раза большей длины.

Лента Мёбиуса — поверхность, соединенная «двумя сторонами».

Это приводит к удивительному результату: согласно Мартину Гарднеру, лента Мёбиуса, строго говоря, не является двумерным объектом, так как имеет определенную толщину (ведь не существует листа бумаги с нулевой толщиной). Если мы будем рассматривать ленту Мёбиуса как трехмерный объект, то увидим, что ее поперечное сечение имеет форму прямоугольника. Саму ленту в этом случае следует рассматривать как «скрученную призму». Если бы ее сечение имело форму четырехугольника, то перед тем как склеить два конца ленты, мы могли бы повернуть их друг относительно друга всего на четверть оборота, на пол-оборота (как обычную ленту Мёбиуса) или на любое другое число оборотов. А если бы ее сечение имело форму пятиугольника, а не четырехугольника? Какой объект получился бы в этом случае? Изучением подобных объектов и всех геометрических тел, которые остаются неизменными после различных преобразований, занимается область математики под названием топология, о которой мы поговорим в следующих главах.

Спустя несколько лет после открытия гиперболической геометрии, в 1851 г., немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866), ученик Гаусса, выступил с обязательным докладом в Гёттингенском университете, чтобы получить возможность претендовать на пост приват-доцента. Этот доклад получил невероятную известность. В нем Риман обрисовал новое видение геометрии, уделив основное внимание изучению многообразий с произвольным числом измерений в различных пространствах. Используя интуитивно понятный язык и не приводя доказательств, он ввел понятие дифференцируемого многообразия (обобщение понятия дифференцируемой поверхности). Понятие «многообразие» содержит отсылку к изменяющимся координатам, которые описывают совокупность точек некоторого объекта, а прилагательное «дифференцируемое» означает, что многообразие является гладким и не содержит складок или разрывов. Согласно Риману, классические поверхности являются двумерными многообразиями, кривые — одномерными многообразиями, а точки имеют число измерений, равное нулю. Также существуют трехмерные и многомерные многообразия, которые, однако, не так просто изобразить графически.