Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) (Басса) - страница 44
Однако если мы проведем подобные вычисления для кривой Коха, то получим, что в первой итерации n = 4, r = 1/3. В этом случае взаимосвязь уже не столь очевидна. Руководствуясь результатами, полученными для отрезка и квадрата, предположим, что аналогичное соотношение выполняется и для кривой Коха, следовательно, 4 = 3>D, где D — условная размерность рассматриваемой кривой. Вычислить D очень просто: нужно взять логарифм от обеих частей уравнения. Получим: log 4 = D∙log 3, D = log 4/log 3 = 1,2629. Если мы выполним аналогичные вычисления для второй итерации кривой, получим 16 = 9>D или, что аналогично,
Фотографии Нила, Амазонки и Великих озер, сделанные с самолета. Можно увидеть крайне неравномерную структуру, которая описывается с помощью моделей фрактальной геометрии.
Силуэт большой рыбы, которая съедает маленькую, — аттрактор системы из 11 итерируемых функций. Шесть из них описывают тело рыбы, четыре — хвост, еще одна — силуэт маленькой рыбы. На рисунке приведена третья итерация.
Скульптура, автора которой вдохновил тетраэдр Серпинского. Он строится аналогично треугольнику Серпинского, единственная разница состоит в том, что вместо трех треугольников на плоскости используются четыре тетраэдра в пространстве.
Построение кривой Такаги, или бланманже, из многоугольников. Каждый следующий многоугольник строится на основе предыдущего по алгоритму, известному как «смещение средней точки».
Его использовал еще Архимед для вычисления площади сегмента, ограниченного дугой параболы и ее хордой.
Для создания этих искусственных пейзажей использовался тот же алгоритм, что и при построении графика функции Такаги, но уже в трех измерениях, с некоторыми изменениями и со случайным набором параметров. Генерирование фрактальных пейзажей применяется при съемках многих фильмов.
Некоторые объекты природы, например облака, легче моделируются с помощью фрактальной, а не евклидовой геометрии. Симуляция облаков производится с помощью приема компьютерной графики, который называется плазма. В нем используется коэффициент рассеивания, от которого будет зависеть итоговый результат.
Генетический код растений и других живых существ строится по принципу наименьшего действия. Инструкции, определяющие рост живых организмов, записываются в генетическом коде максимально экономичным образом. Именно поэтому большинство из них обладает свойствами самоподобия и имеет фрактальную структуру.
Изображение объемного множества