Фигуры, открытые этими математиками, бросали вызов общепринятым определениям. Эти фигуры часто называли математическими монстрами, сравнивали с патологиями и болезнями. Тем не менее революционные работы этих ученых существенно продвинули вперед всю математику в целом.
Глава 3
О далматинцах и драконах. Линейные фракталы
Мать-природа не посещала уроков геометрии и не читала книг Евклида Александрийского. Ее геометрия полна зазубрин, но с собственной логикой, причем такой, которую легко понять.
Нассим Николас Талеб. Черный лебедь
И в шедеврах Эшера, и в других похожих картинах можно увидеть, что повторяемость и самоподобие порождают объекты, противоречащие здравому смыслу, и увлекают зрителя в головокружительную бездну. Мы расскажем, как на основе понятия самоподобия и принципа непрерывности, введенного Лейбницем, формировался фундамент нового раздела геометрии. Философы до сих пор не пришли к единому мнению относительно понятия непрерывности. В математике это понятие изменялось, уточнялось, ему давались различные определения, пока оно не оформилось в окончательном виде. Важность понятия непрерывности в развитии математики очевидна уже потому, что это понятие всегда было одним из самых изучаемых.
Обычно считается, что пространство и время непрерывны. Некоторые философы также утверждают, что непрерывными являются все процессы в природе. Отсюда и знаменитый афоризм Лейбница: Natura non facit saltus («Природа не делает скачков»). В привычном смысле «непрерывный» означает «непрестанный, происходящий без перерывов». В математике, где точность имеет первостепенное значение, путь к точному определению непрерывности был долог и тернист. Даже определение функции долгое время было связано с понятием непрерывности[19].
В терминах современной математики выразить утверждение, похожее на изречение Лейбница, довольно сложно. В последние годы XVIII в. считалось, что для непрерывных функций бесконечно малое изменение аргумента ведет к бесконечно малому изменению значения функции. В XIX в. ученые отказались от понятия «бесконечно малое»[20], и это определение было заменено другим, где использовалось более точное понятие предела.
Если мы скажем, например, что функция не делает скачков, на языке математики это будет недостаточно точно. В попытках дать более точное определение можно прийти к следующему: график непрерывной функции должен быть связным (то есть его нельзя разделить на два открытых множества, пересечение которых будет пустым множеством), однако, возможно, следует сказать, что он должен быть линейно связным