= -
Е
d
Р
где
Р -
поляризация,
Е -
напряжённость электрического поля, следовательно, У. с. имеет вид
Р
= (
Е, Т
)
. Лит.:
Хилл Т., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1960; Вукалович М. П., Новиков И. И., Уравнение состояния реальных газов, М. – Л., 1948; Мейсон Э., Сперлинг Т., Вириальное уравнение состояния, пер. с англ., М., 1972; Лейбфрид Г., Людвиг В., Теория ангармонических эффектов в кристаллах, пер. с англ., М., 1963. См. также лит. при статьях Статистическая физика
и Термодинамика
.
Д. Н. Зубарев.
Уравнения математической физики
Уравне'ния математи'ческой фи'зики,
дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для теории У. м. ф. характерна постановка задач в таком виде, как это необходимо при исследовании физического явления. Круг У. м. ф. с расширением области применения математического анализа также неуклонно расширяется. При систематизации полученных результатов появляется необходимость включить в теорию У. м. ф. уравнения и задачи более общего вида, чем те, которые появляются при анализе конкретных явлений; однако и для таких уравнений и задач характерно то, что их свойства допускают более или менее наглядное физическое истолкование (см. Математическая физика
).
Классификация уравнений математической физики.
Значительная часть У. м. ф. составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:
, (1)
где все коэффициенты a>ij
(a>ij = a>ij
), b>i, с
и правая часть f
представляют собой заданные функции независимых переменных x>1, x>2,..., х>п
(n
³ 2),
а u –
искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно l) уравнения
= 0, (2)
и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками. Если все n
корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n –
1 корней, – к гиперболическому типу; наконец, если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, – к параболическому типу. Если коэффициенты a>ij
постоянны, то уравнение (1) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x>1,..., х>п,
то и корни уравнения (2) зависят от x>1,..., х>п,
а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).