Большая Советская Энциклопедия (УР) (БСЭ) - страница 8
Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна.
Основные примеры уравнений математической физики.
– простейшее уравнение гиперболического типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой части которых добавлены известные функции) – телеграфное уравнение и т.д. Уравнения и системы этого типа появляются при анализе различных колебаний и волновых процессов. Свойства уравнений и систем гиперболического типа во многом аналогичны свойствам приведённых простейших таких уравнений.
– простейшее уравнение эллиптического типа и соответствующее неоднородное уравнение – Пуассона уравнение . Уравнения и системы эллиптического типа появляются обычно при анализе стационарных состояний. Теплопроводности уравнение :
– простейший пример уравнения параболического типа. Уравнения и системы параболического типа появляются обычно при анализе процессов выравнивания.
Первым примером уравнений смешанного типа явилось т. н. уравнение Трикоми:
Для этого уравнения полуплоскость
Ряд задач математической физики приводит к интегральным уравнениям различных типов. Так, например, интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимого переменного (например, времени, энергии и т.д.). В задаче о крутильных колебаниях возникает некоторое интегро-дифференциальное уравнение .
Постановка задач и методы решения уравнений математической физики. На первом этапе развития теории У. м. ф. много усилий было затрачено на отыскание их общего решения. Уже Ж. Д'Аламбер (1747) получил общее решение волнового уравнения. Основываясь на подстановках, применявшихся Л. Эйлером (1770), П. Лаплас предложил (1773) «каскадный метод», дающий общее решение некоторых др. линейных однородных гиперболических уравнений 2-го порядка с двумя аргументами. Однако такое общее решение удалось найти в весьма редких случаях; в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными не выделено ни одного сколько-нибудь значительного класса уравнений, для которых общее решение может быть получено в виде достаточно простой формулы. Кроме того, оказалось что при анализе физических процессов У. м. ф. обычно появляются вместе с дополнительными условиями, характер которых коренным образом влияет на направление исследования решения (см.