1 1 2 2 пространств обозначается R| x S|; второе — R| x S| и т. д.
Возникает вопрос: как математически определить те простейшие расслоения, о которых шла речь выше. До сих пор мы рассматривали примитивные расслоенные пространства простые произведения. Существуют и менее тривиальные произведения.
Как уже упоминалось, наглядно можно представить лишь расслоенные пространства малой размерности (полная размерность N≤3).
1 1
Вначале рассмотрим простейшее расслоение R| x S|.
1 Допустим, что слой — окружность S| — находится в плоскости,
1 перпендикулярной базе — прямой R|. Радиус всех слоев положим для простоты равным 1, что не уменьшит общности рассмотрения, поскольку единицы измерения — в ведомстве физики, а не математики. Положение радиус-вектора из любой
1 1 точки прямой R| в соответствующую точку окружности S| будем характеризовать углом ALPHA, отсчитываемым от некоторой
1 прямой, перпендикулярной базе R|. В простейшем случае интервал определяется соотношением ds**2 = dx**2 + d ALPHA**2. В более общем случае n-мерного
n 1 евклидова пространства со слоем S| (R| x S|) метрику можно
1 записать в виде матрицы:
! SIGM|| 0!
! ik! g|| =!! (10)
юv!!
! 0 1!
i,k = 1,2….,n; ю, v = 1,2….,n+1=N; SIGM|| = 1 при i=k;
ik
n
— SIGM|| = 0 при i ≠ k; ds**2 = > dx|**2 + d ALPHA**2.
ik — i
i=1
Такую простую форму интервал имеет при специальном выборе системы координат (смешанная система: n координат декартовы, а (n+1) — я описывается в одномерной сферической системе). Разумеется, в общем случае метрика имеет более сложный вид. Однако в одном важном для нас частном случае,
1 когда окружность S| описывается в комплексной плоскости, соотношение (10) сохраняется. Этот вывод следует из двух фактов, лежащих в основе теории комплексных чисел:
iA 1) функция f(ALPHA) = e|| описывает в комплексной плоскости окружность с радиусом, равным единице, и 2) модуль функции
* f(ALPHA) равен единице: f| (ALPHA) * f (ALPHA) = 1.
Приведем пример нетривиального трехмерного расслоения. С этой целью рассмотрим аналог рис. 1. Рассмотрим вначале
1 простое произведение окружности S| на цилиндрическую поверхность, которую можно получить путем простого склеивания прямоугольной полоски бумаги так, чтобы краевые
1 1 точки A и B, A| и B| совпали (рис. 2,а). Однако можно полоску
1 перекрутить так, чтобы точка A совпала бы с точкой B|, а
1 точка B — с точкой A| (рис. 2,б). В результате получается поверхность, называемая листом Мёбиуса. Такая поверхность может быть совокупностью слоев над базой — окружностью. Однако ясно, что при перемещении вдоль окружности-базы слои утрачивают свое равноправие. Так, слой AB остался неизменным: он перпендикулярен плоскости, в которой находится окружность. Другие же слои повернулись на некоторый угол, который зависит от от расстояния от линии AB. В общем случае расслоенное пространство — сравнительно сложная конструкция. Мало задать пространство базы и пространство слоев. Нужно еще и зафиксировать отношения между ними. Идея определения этого отношения заимствована из дифференциальной геометрии, где эта идея — лишь одна из возможностей измерения отклонения пространства от евклидова. Для расслоенных пространств общего вида описанный ниже метод, пожалуй, основной.