Ранее мы упоминали, что искривленное пространство характеризуется различными величинами: отклонением суммы углов треугольника от π (неевклидовость), отличием метрики пространства от евклидовой метрики и, наконец, кривизной пространства. Однако существует сравнительно наглядная характеристика искривленности, называемая связностью. Для обычного (нерасслоенного) пространства связность определяется совокупностью углов между данным малым линейным элементом поверхности и всеми соседними малыми элементами.
Чтобы сделать это наглядное определение математически более строгим, необходимо сформулировать общее правило параллельного переноса векторов.
В евклидовой геометрии параллельный перенос отрезка прямой линии — стандартная операция с достаточно очевидным результатом. Если переносить этот отрезок параллельно самому себе вдоль замкнутого контура, то в результате полного обхода контура конечная прямая совпадет с первичной. Однако такой результат неочевиден (и даже неверен) для кривой поверхности.
Чтобы понять дальнейшие рассуждения, следует сделать некоторое усилие и отрешиться от привычных и наглядных представлений о параллельных в евклидовом пространстве.
Прежде всего определим для кривой поверхности однозначный аналог прямой между двумя точками. Уже упоминалось, что в общем случае этого требования недостаточно для однозначного определения «прямой» между двумя точками. Оно оказывается достаточным, если обе точки расположены близко друг к другу. Тогда кратчайший отрезок, соединяющий обе точки, называется геодезической линией. Если нужно провести геодезическую линию (аналог прямой) для двух произвольных точек, то ее составляют из отрезков геодезических, соединяющих близкие точки.
Процедура параллельного переноса была предложена итальянским ученым Т.Леви-Чивита. возьмем на поверхности две
1 бесконечно-близкие точки M и M| и рассмотрим в точке M вектор поверхности a (лежащий в касательной плоскости к поверхности). Если перенести вектор a параллельно самому
1 себе (в евклидовом смысле) в точку M|, то он не будет лежать
1 в касательной плоскости в точке M| поверхности и не будет вектором поверхности. Спроектируем вектор a на касательную
1 1 плоскость к поверхности в точке M|, тогда получим вектор a|,
1 лежащий в касательной плоскости к поверхности в точке M| и
1 являющийся вектором поверхности. По определению, вектор a|
1 является параллельно перенесенным в точку M| вектором a. Если точки M и N отстоят на бесконечном расстоянии, то их следует соединить кривой, лежащей на поверхности, разбить ее на бесконечно малые участки и к каждому применить процедуру параллельного переноса. Получающийся в результате вектор зависит от вида соединяющей исходную и конечную точки кривой. Если кривая замкнута, то при возвращении в исходную точку параллельно перенесенный вектор не будет совпадать с исходным, а составит с ним некий угол BETA. Этот угол равен нулю, если параллельный перенос производится вдоль геодезической линии. Это связано с тем, что при параллельном переносе угол между переносимым вектором и геодезической линией не меняется.