Рассмотрим простейшее калибровочное поле электромагнитное. Допустим, что электромагнитное поле представляется релятивистским 4-вектором A|. Тогда из
i векторов можно образовать только два типа скаляров
i i (скалярных произведений): eA|dx| и aA|A| (здесь индекс i
i i пробегает значения i=1,2,3,4; e,a — постоянны). Пусть все реальные физические величины инвариантны относительно калибровочного преобразования:
A|' — > A| + DLf/DLx|, (45) i i i
где f — некоторая произвольная функция при калибровочных преобразованиях от 4-координат. Тогда можно написать следующее равенство:
i ∂(ef) i eA| dx| + —--- dx| = eA|dx| + d(ef), (46)
i DLx| i i
i
где d(ef) — полный дифференциал от функции ef. Однако прибавление полного дифференциала к лагранжиану не изменяет уравнения движения. Замена же (45) в квадрате
i вектора A|A| приводит к изменению лагранжиана, и,
i i следовательно, член A|A| нарушает калибровочную
i инвариантность уравнений движения. Следовательно, лагранжиан
i не может содержать скаляры типа A|A|. В теории поля
i демонстрируется, что эти члены могут появиться в том случае, когда частицы — переносчики взаимодействия — характеризуются ненулевой массой. Следовательно, чтобы удовлетворить условию (46), достаточно, чтобы масса частицы-переносчика была бы строго равна нулю. В электродинамике такой частицей является фотон. Экспериментально установлено, что масса фотона m||||| < 4.5*10**-16 эВ/с**2, это в 10**21 раз меньше массы GAMMA самой легкой частицы — электрона. Естественно полагать, что в соответствии с принципом калибровочной инвариантности m|||||=0. GAMMA
С другой стороны, из принципа неопределенности следует, что радиус действия сил, обусловленных частицей-переносчиком ~HP/mc. Для электродинамики это означает, что электромагнитные силы — дальнодействующие. Их радиус r|≈HP/m|||||c при m||||| = 0 равен бесконечности. Этот факт
GAMMA GAMMA для электростатики следовал из простых физических соображений (см. выше).
Ввиду исключительной важности калибровочного принципа мы здесь наметим другой вывод уравнения электродинамики в рамках квантовой теории.
В квантовой механике состояние представляется волновой функцией Ψ. Вообще говоря, функция Ψ — комплексное число; среднее значение какой-либо динамической величины A равно интегралу
--\
\ * = \ Ψ| (x) A Ψ (x) dx, (47)
\
\
\-
x — точка в пространстве Минковского. Ясно, что значение величины инвариантно относительно преобразования
i ALPHA PSIG'(x) — > e||||||| Ψ (x). (48)
Инвариантность величины - следствие тождества i ALPHA — i ALPHA e||||||| * e|||||||| = 1 и того, что комплексно-сопряженная.