данного свойства, его построения: в некоторой данной системе средств, но не актом описания. Это продуцирование, однако, является продуцированием не самой «вещи», но только ее теоретического образа, ее «модели».
Всякий геометрический объект определяется относительно некоторой однородной среды, закономерности которой, повсюду одинаковые, обусловливают свойства конкретного объекта, рассматриваемого в ней. Так, мы убеждены, что все геометрические фигуры суть некоторым образом «одно и то же», что они внутренне тождественны. Только при этом условии и возможно строго математическое познание.
Историческое развитие геометрии состояло в том, что это убеждение все более и более овладевало умами геометров.
Для геометрии древних характерно самостоятельное рассмотрение геометрических фигур сообразно особенностям их индивидуальной наглядной определенности. Так, например, круг и эллипс с точки зрения непосредственного созерцания представляются сущностями различных порядков, поэтому определение свойств каждой из них осуществлялось индивидуально. Отдельная фигура рассматривалась как самодовлеющая единица. Разумеется, между кругом и эллипсом можно подметить некоторое внешнее сходство, однако оно не касается существа.
Методы аналитической геометрии Декарта и современной дифференциальной геометрии, теории групп или проективной геометрии позволяют установить единый метод непрерывного преобразования любой самой сложной фигуры в другую. То, что в геометрии древних решается путем сложных и разрозненных операций, аналитическая геометрия разрешает более простым и единообразным способом. Так, например, теория конических сечений была построена еще Аполлонием Пергским (265-217 гг. до н.э.), но его изложение имело чрезвычайно сложную форму. То, что у Аполлония распадается на восемьдесят отдельных операций, сопровождаемых построением отдельных элементарных фигур, аналитическая геометрия решает путем немногих простых операций. Все конические сечения выражаются в декартовых координатах уравнениями 2-й степени, и построение их теории было сведено к исследованию таких уравнений[142].
Аналитическая геометрия Декарта позволяет свести сложное дискретное многообразие индивидуальных синтетических фигур, кривых и т.п. к числовому единообразию их аналитического выражения в координатной системе, к некоторому непрерывному числовому ряду с едиными, однородными закономерностями. В этой системе индивид уже не представляется самодовлеющей единицей познания. Наоборот, всякая индивидуальная определенность есть продукт известного состояния некоторой