Здесь становится совершенно ясным различие между геометрией как математикой и геометрией как физикой. В самом деле, если мы рассматриваем геометрию Евклида или Лобачевского как частные случаи геометрии Римана и если мы придаем их понятиям некоторый абсолютный физический смысл, например, трехмерности этих пространств, то говорить о месте трехмерного пространства в бесконечномерном пространстве Римана физически бессмысленно, хотя математически это имеет определенный и глубокий смысл. Трехмерное пространство не существует «в» бесконечномерном; относительно любого физического объекта мы можем сказать, что он существует только в трехмерном или, в крайнем случае, четырехмерном «пространстве-времени» Эйнштейна – Минковского, но никак не в бесконечномерном. О математическом же смысле такого существования стоит говорить.
Создание геометрии групп преобразований Клейна и геометрии Римана позволило обобщить не только свойства отдельных фигур в рамках той или иной геометрии или того или иного пространства, но сами геометрии и сами пространства в рамках более абстрактных математических пространств. При этом все более и более выяснялся математический характер геометрических понятий. Становилось все более явным, что геометрия изучает не те или иные субстанциальные пространственные формы, но отношения, подобные пространственным, независимо от абсолютного содержания компонентов этого отношения. Так, например, в современной геометрии рассматривается не только пространство точек и линий, но и «пространство» цветов, «фазовое пространство» какой-либо механической системы, функциональные пространства как совокупности объектов, каждый из которых не может быть задан конечным числом данных, т.е. бесконечномерные пространства.
«Под “пространством” в математике понимают вообще любую совокупность однородных объектов (явлений, состояний, функций, фигур, значений переменных и т.п.), между которыми имеются отношения, подобные обычным пространственным отношениям (непрерывность, расстояние и т.п.). При этом, рассматривая данную совокупность объектов как пространство, отвлекаются от всех свойств этих объектов, кроме тех, которые определяются этими принятыми во внимание пространственно подобными отношениями. Эти отношения определяют то, что можно назвать строением или «геометрией» пространства. Сами объекты играют роль «точек» такого пространства; «фигуры» – это множество его «точек». Предмет геометрии данного пространства составляют те свойства пространства и фигур в нем, которые определяются принятыми в расчет пространственно подобными отношениями. Так, например, при рассмотрении пространства непрерывных функций вовсе не занимаются свойствами отдельных функций самих по себе. Функция играет здесь роль точки, и, стало быть, «не имеет частей», не имеет в этом смысле никакого строения, никаких свойств вне связи с другими точками; точнее, от всего этого отвлекаются. В функциональном пространстве свойства функций определяют только через их отношения друг к другу – через расстояния и через другие отношения, которые можно вывести из расстояния»