Так, например, геометрия является наукой, изучающей пространственные свойства вещей объективного мира. Однако в ней то или иное пространственное свойство уже не рассматривается ни как принадлежащее какому-либо конкретному реальному объекту, ни объекту вообще, а само по себе. Правда, геометры выражаются таким образом, что предметом их науки являются такие «объекты» или «вещи», как точки, прямые, плоскости и отношения между ними. Однако этим объектам не приписывается никакого реального существования, они суть только абстракции, отвлечения от действительных объектов. Математические «вещи» изучаются не путем непосредственного обращения к ним, но косвенно, через систему аксиом, так как свое содержание они получают только в ходе развития содержания науки.
Спрашивается, на чем же основывается это содержание науки, что служит его источником?
Эмпирическая аргументация исключается при доказательстве геометрических теорем. Это и дает основание идеалистической философии утверждать, что геометрия не имеет никакого отношения к исследованию реального пространства и реальных пространственных свойств вещей. Тем не менее «объекты» этой науки вполне определенны, и геометрия добивается адекватного выражения этой определенности в понятии. Ситуация, с которой мы сталкиваемся при анализе математического познания, противоречива, даже парадоксальна: с одной стороны, мы признаем, что геометрия является наукой о пространственных формах объективного мира, с другой – утверждаем, что в процессе исследования этих пространственных форм реальных вещей мы отвлекаемся от самих вещей, от их конкретного содержания.
В своем повседневном опыте человек имеет дело с бесконечным многообразием пространственных свойств вещей, более богатым, чем мир образов геометрии. И если бы дело сводилось только к тому, чтобы описать существующие пространственные свойства эмпирических вещей подобно тому, как ботаника описывает различные растения, а география – различные страны, то геометрия, очевидно, и не потребовалась бы. Путем непосредственного созерцания человек может установить, что в природе существуют такие-то и такие-то пространственные индивидуумы, что существуют вещи, имеющие ту или иную форму и т.п., может убедиться в существовании и таких пространственных форм, для которых на языке современной геометрии еще и не существует подходящего коррелята, и описание которых на этом языке хотя и возможно теоретически, но, в силу своей сложности, практически неосуществимо.
Более того, опираясь на данные наблюдения, можно также указать, при каких обстоятельствах, как и почему вещи принимают данную пространственную форму. Однако и такое исследование в задачу геометрии не входит. Жидкость, например, в состоянии невесомости принимает форму сферы. Этот факт зависит от взаимодействия молекулярных сил, но никакому геометру не придет в голову определять данную геометрическую форму, ссылаясь на физические закономерности. Прямолинейность натянутой струны прямо и непосредственно зависит от степени ее натяжения и в реальности ничем иным вообще не определяется. Геометр же именно от этой зависимости и отвлекается. Геометрическую форму тел он рассматривает, отвлекаясь от конкретных тел и их движений, от их физической природы и качественной определенности.