С геометрическими отношениями мы сталкиваемся, однако, не только в «чистой» геометрии, но и при измерении реального эмпирического физического объекта, скажем, при определении его площади или объема. Те отношения, анализ которых дает нам возможность установить эмпирическое значение объема конкретного тела, совершенно очевидно принадлежат самому этому реальному телу, а не заимствованы из какого-то «интеллигибельного» мира. Поэтому геометрические понятия мы рассматриваем не как средство «экономичного описания» опыта или априорно установленные принципы обработки опытных данных, но как отражение объективных свойств вещей. Значение размера, которое мы установили посредством измерений, носит несомненно эмпирический характер, поэтому его объективность не составляет сомнения. Но поэтому же и объективность геометрических понятий, с помощью которых мы установили это эмпирическое значение, не вызывает сомнений. Вместе с тем ясно, что геометрические зависимости и понятия, выражающие их, не являются эмпирическими.
Объем цилиндра геометр ставит в зависимость от радиуса окружности основания и высоты. Лесовод, очевидно, скажет, что объем ствола дерева зависит от его возраста, но, определяя его объем, он вынужден будет рассуждать как геометр. Подход физический и математический к одному и тому же объекту (физическому) принципиально различен. Объем можно рассматривать как физическую определенность вещи, и тогда математический способ рассуждения становится явно бессмысленным. В самом деле, если геометрически площадь круга зависит от его радиуса, то в эмпирическом смысле этот способ рассуждения вращается в явном кругу: площадь данного плоского тела, имеющего форму круга, зависит не от его радиуса, так как радиус сам составляет определенность площади, но от тех физических условий, в которых находится данное тело; сказать, что площадь тела зависит от его радиуса, – то же самое, что сказать, что радиус тела зависит от его площади, т.е. что площадь зависит от площади же.
Очевидно, под площадью в физико-эмпирическом и геометрическом смысле мы имеем в виду различные вещи. Аналогично, если под площадью мы понимаем не физическую определенность вещи, а математическое выражение этой определенности, то при установлении этого математического выражения будет бессмысленным прибегать к физическим понятиям и соображениям. Тот факт, что объем ствола дерева равняется именно одному кубическому метру, а не двум и не трем, зависит, конечно, от его возраста. Но само определение «один кубический метр» зависит от радиуса, так как мы получили его, преобразовав определенность радиуса в определенность площади круга.