Медали Филдза Смэйл был удостоен за выдающиеся исследования в области топологии — раздела математики, который начал развиваться в XX веке, достигнув особого расцвета в 50-е годы. Предметом топологии являются те свойства и качества, которые остаются неизменными (или инвариантными) при деформации геометрических фигур путем скручивания, сжатия или растяжения. Очертания и величина фигур — квадратные они или круглые, большие или маленькие — для топологии не столь важны, так как могут быть изменены деформацией. Для тополога представляет интерес другое: есть ли на поверхности фигуры разрывы или отверстия, не имеет ли она форму узла. Предмет исследования топологии не одно-, дву- и трехмерные поверхности, как в Евклидовой геометрии, а многомерные пространства, не поддающиеся отчетливому визуальному представлению. Объекты топологии подобны геометрическим телам на растягивающейся листовой резине, и рассматривает она не столько количественные, сколько качественные характеристики, т. е. раскрывает структуру в целом, не вдаваясь в измерение ее параметров. Смэйл разрешил одну из основных, имеющих длинную историю задач топологии — так называемую проблему Пуанкаре для пятимерного пространства и пространств большей размерности. Благодаря этому он встал в один ряд с выдающимися собратьями по ремеслу. Тем не менее в 60-х годах Смэйл, оставив топологию, вступил на неизведанную почву — занялся динамическими системами.
Возникновение топологии и теории динамических систем восходит еще ко временам Анри Пуанкаре, который считал эти дисциплины двумя сторонами одной медали. На рубеже веков Пуанкаре, последним из великих математиков, применил геометрию для описания законов движения в физической. Вселенной. Пуанкаре раньше всех осознал проблему хаоса. Его работы содержат смутные указания на возможную непредсказуемость, столь же трудноуловимую, как и в исследованиях Лоренца. Однако после смерти французского математика топологию ожидал расцвет, а динамические системы — забвение. Само понятие вышло из употребления. Предмет, на который обратил свое внимание Смэйл, назывался теорией дифференциальных уравнений. Последние использовались для описания изменений системы во времени, причем, в согласии с господствующей традицией, объекты рассматривались «локально». Подразумевалось, что инженер или физик примет во внимание лишь один набор параметров, передающих движение в данный момент времени. Смэйл, как и Пуанкаре, стремился исследовать явления в глобальном масштабе, желая постигнуть все богатство возможностей сразу.