Математика. Поиск истины. (Клайн) - страница 100
([19], с. 27.)
Но коль скоро Земля силой своего тяготения может заставить Луну обращаться вокруг нее, то и Солнце силой своего тяготения могло бы заставить планеты обращаться вокруг него. Поэтому у Ньютона были некоторые основания надеяться на успех дерзкого замысла: доказать, что та же самая сила, которая притягивает тела к Земле, заставляет Луну обращаться вокруг Земли и планеты вокруг Солнца.
Все рассуждения Ньютона, о которых мы упоминали до сих пор, были чисто качественными и умозрительными. И чтобы сделать решительный шаг вперед, необходимо было придать им количественный характер. Продолжая рассуждать о действующей на Луну силе земного притяжения, Ньютон пишет дальше:
Если бы эта сила была меньше соответствующей этой орбите, то отклоняла бы Луну от прямолинейного пути недостаточно, а если больше, то она отклоняла бы ее больше, чем следует, и приблизила бы ее от орбиты к Земле. Следовательно, надо, чтобы эта сила была в точности надлежащей величины. Дело математиков найти такую силу, которая в точности удерживала бы заданное тело в движении по заданной орбите с данной скоростью, и наоборот, найти тот криволинейный путь, на который заданною силою будет отклонено тело, вышедшее из заданного места с заданной скоростью.
([19], с. 27.)
Рассуждение Ньютона, с помощью которого он показывает, что одна и та же формула применима и к земным, и к небесным телам, ныне считается классическим. Мы приведем здесь его в несколько упрощенном виде, который тем не менее правильно передает самую суть. Орбиту Луны приближенно можно считать окружностью. Так как Луна (рис. 27) движется не по прямой MP, ее, очевидно, притягивает к Земле какая-то сила. Если MP — расстояние, которое Луна проходит за 1 с в отсутствие силы тяготения, то РМ' — расстояние, на которое Луна смещается к Земле за ту же секунду под действием силы тяготения. Ньютон принял расстояние РМ' за меру силы, с которой Земля притягивает Луну. Соответствующая величина для тела, находящегося вблизи поверхности Земли, составляет примерно 9,8 м; если тело выпустить из рук, то под действием земного тяготения оно за первую секунду пройдет расстояние, равное 9,8 м. Ньютон вознамерился показать, что одна и та же сила заставляет Луну проходить за 1 с расстояние РМ' а тело вблизи поверхности Земли пролетать в свободном падении 9,8 м.
Рис. 27.
Приближенные оценки привели его к мысли, что сила притяжения между телами зависит от квадрата расстояния между центрами тел и что с увеличением расстояния эта сила убывает. Расстояние между центром Луны и центром Земли примерно в 60 раз больше радиуса Земли. Следовательно, на Луну Земля действует в 60