Третья категория сильно напоминает решение олимпиадных задач. Не только само задание было четко сформулировано, но и дополнительные условия: путь к решению, который наметил Гамильтон. Итак, это была очень, очень сложная олимпиадная задача — ее нельзя было решить за несколько часов, недель или даже месяцев. Это была задача, которую, возможно, не мог решить никто, кроме Перельмана, а Перельман как раз искал такую задачу, чтобы заставить работать свой мозг на полную мощность.
Перельману удалось доказать две основные вещи. Во-первых, он показал, что Гамильтону не нужно было предполагать, что кривизна всегда будет одинаковой: в воображаемом пространстве, в котором применяется доказательство, это и так будет всегда верно. Во-вторых, Перельман показал, что все сингулярности, которые могут возникнуть в процессе деформации, имеют одинаковую природу и могут появиться, когда кривизна начинает неуправляемо раздуваться. Поскольку все сингулярности имеют единую природу, для устранения их всех нужен один инструмент — хирургия, предложенная Гамильтоном. Более того, Перельман доказал, что некоторые сингулярности, о которых говорил Гамильтон, вообще не появятся.
В перельмановой доказательной логике есть нечто забавное, отчасти ироничное. Перельман преуспел благодаря непостижимой способности своего ума охватывать весь широчайший спектр возможностей. Он имел все основания утверждать: он знает все, что может случиться с объектом по мере его деформации. И, зная это, он смог исключить некоторые сценарии как невозможные. Рассуждая о воображаемом четырехмерном пространстве, он ссылался на то, что может и что не может произойти "в природе". По сути, Перельману в математике удавалось то, что он пытался делать в жизни: охватить все возможности, существующие в природе, и отбросить все, что выходит за рамки естественного — будь то голоса кастратов, автомобили, антисемитизм или еще какие неудобные сингулярности.
Дата: Tue, 12 Nov 2002 05:09:02 -0500 (EST) От: Григорий Перельман Кому: [несколько адресатов] Тема: Новый препринт
Уважаемый [имя]/
Позвольте обратить Ваше внимание на мою статью math.DG 02111 $9, размещенную на сайте arXiv.
Аннотация
В настоящей статье вводится величина, монотонно изменяющаяся в силу потока Риччи в любой размерности и без дополнительных предположений о кривизне. Она (эта величина) интерпретируется как энтропия некоторого канонического ансамбля. Приведены несколько геометрических приложений. Так, (1) поток Риччи на пространстве римановых метрик, рассматриваемых с точностью до диффеоморфизма и масштабирования, не имеет нетривиальных, т.е. отличных от неподвижных точек, периодических орбит;(2) в области, где сингулярности возникают за конечное время, радиус инъективности контролируется кривизной; (3) поток Риччи не может быстро преобразовывать почти евклидову область в сильно искривленную область, вне зависимости от того, что происходит на отдалении. Мы также проверяем несколько утверждений программы доказательства гипотезы геометризации Терстона для замкнутого трехмерного многообразияу предложенной Ричардом Гамильтоном. Мы даем набросок доказательства этой гипотезы, использующего предшествующие результаты о коллапсировании с локальной нижней оценкой кривизны.