Числа,
выражаемые дробями, называются дробными
. Целые и дробные числа объединяются
вместе под названием рациональные
числа . (Для простоты изложения мы
ничего не говорим об отрицательных
числах; для наших целей они не нужны, и
о них можно просто забыть.) Казалось бы,
какие ещё могут быть числа? Но, как мы
знаем, диагональ квадрата не имеет общей
меры с его стороной. Поэтому если взять
квадрат со стороной длины единица, то
оказывается, что длина диагонали этого
квадрата никаким рациональным числом
не выражается. Следовательно, у этой
диагонали либо вовсе нет длины, либо
эта длина выражается числом какого-то
нового типа, каковой тип ещё только
подлежит введению в рассмотрение. Числа
этого нового типа называются
иррациональными, вместе с рациональными
они образуют систему действительных,
или вещественных, чисел. Теперь
уже каждый отрезок обретает длину в
виде некоторого действительного числа.
Надо
иметь в виду, что изложенный взгляд на
понятие числа, включающий в объём этого
понятия и иррациональные числа, есть
взгляд с современной точки зрения. Чтобы
прийти к этой точке зрения, потребовались
тысячелетия. В древности лишь натуральные
числа считались числами. Число понималось
как совокупность единиц. Очень постепенно
в обиход входили дроби - сперва с
числителем единица и небольшим
знаменателем, затем числителю уже
разрешалось быть ббольшим единицы, но
всё-таки непременно меньшим знаменателя,
и так далее. Но и дробь не сразу была
признана выражающей число, поначалу
она трактовалась иначе - как выражающая
отношение величин. Открытие явления
несоизмеримости привело к осознанию
того поразительного факта, что не всякое
отношение величин может быть выражено
дробью, и, в конечном счёте, к возникновению
понятия действительного числа. Возможно,
впервые ясное представление о
действительных числах сформулировал
великий арабский учёный и государственный
деятель XIII века Насирэддин Тусби.
Рассуждая об однородных величинах
(таковыми являются длины, или веса, или
объёмы и т. п.) и отношениях величин
одного и того же рода, он писал: «Каждое
из этих отношений может быть названо
числом, которое определяется единицей
так же, как один из членов этого отношения
определяется другим из этих членов». И
наконец, завершающую точку в развитии
ясного, хотя всё ещё интуитивного,
представления о действительных числах
поставил Ньютон в своей «Всеобщей
арифметике» (1707): «Под числом мы понимаем
не столько множество единиц, сколько
отвлечённое отношение какой-нибудь
величины к другой величине того же рода,
принятой нами за единицу. Число бывает
трёх видов: целое, дробное и иррациональное.
Целое есть то, что измеряется единицей;
дробное есть кратное долей единицы;
иррациональное число несоизмеримо с
единицей».