Мы,
разумеется, не собираемся здесь доказывать
неразрешимость задачи о квадратуре
круга. Можно было бы попытаться в
доступных терминах наметить общее
направление доказательства - но мы и
этого делать не будем, потому что это
вывело бы нас за пределы того, что мы
считаем общекультурным математическим
минимумом. А вот самоё формулировку
обсудим. Казалось бы, что тут обсуждать,
формулировка достаточно ясная. Сейчас
мы увидим, что на самом деле её смысл
нуждается в разъяснении. Приносим
извинения тому читателю, который почтёт
эти разъяснения занудными и излишними.
Но надеемся встретить и иного читателя,
который найдет здесь пищу для размышлений
и оценит то обстоятельство, что именно
математика является поставщиком такой
пищи.
Каждая
задача на построение предполагает
наличие некоторой исходной геометрической
фигуры и состоит в требовании указать
способ, позволяющий построить новую
фигуру, связанную с исходной указанными
в задаче соотношениями. Так, в задаче о
середине отрезка исходной фигурой был
отрезок, а новой фигурой - точка, являющаяся
его серединой; в задаче о квадратуре
круга исходная фигура - круг, а новая -
квадрат, имеющий ту же площадь. Вот ещё
пример: по данной стороне построить
правильный треугольник (то есть такой
треугольник, у которого одинаковы все
стороны и все углы). Исходной фигурой
здесь служит отрезок, а новой фигурой
- треугольник, у которого все стороны
конгруэнтны этому отрезку. Надеемся,
что читатель легко решит эту задачу.
Можно построить и правильный
семнадцатиугольник, но это уже не столь
просто. А вот аналогичная задача о
построении правильного семиугольника
не имеет решения - это в конце XVIII века
доказал один из величайших математиков
всех времён Карл Фридрих Гаусс (1777 -
1855). До Гаусса существование таких задач
на построение, решить которые невозможно,
было лишь правдоподобной гипотезой. Он
же указал способ построения правильного
17-угольника. Вот ещё пример весьма
известной и древней задачи на построение:
задача о трисекции угла . В ней
требуется для каждого угла построить
другой угол, составляющий треть исходного.
Для некоторых углов специального вида
- например, для прямого угла - построение
трети не составляет труда. Однако в
середине XIX века про некоторые углы было
доказано, что, оперируя линейкой и
циркулем, построить их невозможно.
Оказалось, в частности, что невозможно
построить углы в 10 и 20 градусов и,
следовательно, осуществить трисекцию
углов в 30 и 60 градусов. Тем самым была
установлена неразрешимость задачи о
трисекции угла