Разрешается
находить пересечения друг с другом уже
построенных прямых, лучей, отрезков,
окружностей и дуг окружностей (но не
всяких дуг, а расположенных между двумя
уже построенными точками).
Наконец,
разрешается совершать так называемый
выбор произвольной точки . Это
значит, что разрешается нанести стилом
точку в любом месте плоскости, а также
в любом месте уже построенной фигуры и
использовать эту точку в дальнейших
построениях. (Термин «фигура» обозначает
здесь отрезок, луч, прямую, окружность,
дугу окружности, а также участок
плоскости, граница которой составлена
из перечисленных только что простейших
фигур.)
Только
теперь, после описания всех разрешённых
операций, обретает точный смысл
утверждение о нерешимости той или иной
задачи на построение, в частности задачи
о квадратуре круга. Отсутствие решения
означает здесь отсутствие такой цепочки
разрешённых операций, которая приводила
бы от круга к квадрату той же площади.
Заметим,
что сам перечень разрешённых операций
в значительной степени обусловлен
историческими причинами и, вообще
говоря, мог бы быть другим. Например,
можно было бы включить в число разрешённых
операций операцию построения касательной,
о которой говорилось выше (заметим,
кстати, что это не дало бы ничего
принципиально нового, потому что
касательную можно построить, подобрав
подходящую цепочку разрешённых операций
из старого перечня). Можно было бы
включить в число разрешённых операций
вычерчивание эллипса - ведь устройство
для вычерчивания эллипса лишь немногим
сложнее циркуля (достаточно вбить два
гвоздя в фокусы эллипса и протянуть
между ними нить, более длинную, нежели
расстояние между фокусами; зацепим нить
стилом и натянем; тогда, перемещая стило
так, чтобы нить оставалась натянутой,
получим эллипс). Да даже и не надо
заботиться о лёгкости выполнения
разрешённой операции: строго говоря,
мы вправе объявить разрешённой любую
операцию по нашему усмотрению. Перечень
разрешённых операций, с чисто логической
точки зрения, достаточно произволен.
Однако, коль скоро он выбран, он уже не
меняется. Полезная аналогия: свод
юридических актов. С чисто логической,
опять же, точки зрения, законы произвольно
устанавливаются законодателем, но,
будучи принятыми, они уже - хотя бы на
определённый период - не меняются; во
всяком случае, так должно быть.
Объясним
теперь, почему задачам на построение
было уделено здесь такое внимание.
Причина в том, что на примере этих задач
мы пытались продемонстрировать некоторые
математические представления
принципиального характера, представления,
которые можно отнести к философии
математики, а то и к философии вообще.
Перечислим эти представления.