“Сальвиати.
‹…› Мне пришёл в голову пример, который
я для большей ясности изложу в форме
вопросов, обращённых к синьору Симпличио,
указавшему на затруднения. Я полагаю,
что вы прекрасно знаете, какие числа
являются квадратами и какие нет.
Симпличио.
Я прекрасно знаю, что квадратами являются
такие числа, которые получаются от
умножения какого-либо числа на самого
себя; таким образом числа четыре, девять
и т. д. суть квадраты, так как они получаются
от умножения двух и соответственно трёх
на самих себя.
Сальвиати.
Великолепно. Вы знаете, конечно, и то,
что как произведения чисел называются
квадратами, так и образующие их, т. е.
перемножаемые, числа носят название
сторон или корней; другие числа, не
являющиеся произведениями двух равных
множителей, не суть квадраты. Теперь,
если я скажу, что количество всех чисел
вместе - квадратов и не квадратов -
больше, нежели одних только квадратов,
то такое утверждение будет правильным;
не так ли?
Симпличио.
Ничего не могу возразить против этого.
Сальвиати.
Если я теперь спрошу вас, каково число
квадратов, то
можно
по справедливости ответить, что их
столько же числом, сколько существует
корней, так как каждый квадрат имеет
свой корень и каждый корень - свой
квадрат; ни один квадрат не может иметь
более одного корня и ни один корень -
более одного квадрата.
Симпличио.
Совершенно верно.
Сальвиати.
Но если я спрошу, далее, каково число
корней, то вы не станете отрицать, что
оно равно количеству всех чисел вообще,
потому что нет ни одного числа, которое
не могло бы быть корнем какого-либо
квадрата; установив это, приходится
сказать, что число квадратов равняется
общему количеству всех чисел, так как
именно таково количество корней, каковыми
являются все числа. А между тем ранее
мы сказали, что общее количество всех
чисел превышает число квадратов, так
как ббольшая часть их не является
квадратами”.
“Что
же нужно сделать, чтобы найти выход из
такого положения?” - в растерянности
спрашивает еще один участник беседы,
Сагредо. Возможны два выхода. Первый
состоит в том, чтобы отказаться от
сравнения бесконечных количеств по их
величине и признать, что в отношении
двух таких количеств не следует даже и
спрашивать, равны ли они, первое ли
больше второго, второе ли больше первого,
- и то, и другое бесконечно, и этим всё
сказано. Такой выход и предлагает Галилей
устами Сальвиати. Но возможен и другой
выход. Можно предложить общую схему
сравнения любых количеств по их величине.
В случае конечных количеств эта схема
не будет расходиться с нашими привычками.
Для количеств бесконечных она тоже,
если вдуматься, не будет им противоречить
- хотя бы потому, что каких-либо привычек
оперирования с бесконечностями у нас
нет. Именно этот второй выход и принят
в математике. Забегая вперёд, укажем,
что если к квадратам добавить сколько
угодно не-квадратов, то полученная
расширенная совокупность чисел будет
равна по количеству исходной совокупности
квадратов (эффект Кортасара). Можно, в
частности, добавить все не-квадраты и
получить тем самым совокупность всех
чисел. Тем самым оказывается, что
количество всех чисел действительно
равно количеству квадратов - хотя
квадраты составляют только часть чисел.
Это явление - равенство по количеству
совокупности и её собственной части -
для конечных совокупностей невозможно,
для совокупностей же бесконечных
возможно, и сама эта возможность может
служить одним из определений бесконечности.