Только
что изложенное свойство бесконечных
совокупностей не столь трудно для
понимания, как это может показаться. И
сейчас мы попытаемся его объяснить.
Сама логическая конструкция проста,
изящна и поучительна. Мы надеемся, что
читатель согласится включить её в свой
интеллектуальный багаж, причём в качестве
носимой с собой ручной клади, а не
тяжеловесного предмета, сдаваемого в
багажное отделение.
Для
начала перестанем избегать термина
множество, как это мы делали до сих
пор, стыдливо заменяя его синонимом
“совокупность”. Множество состоит из
элементов, которых не обязательно много.
(Это в русском языке слова “множество”
и “много” однокоренные, а вот английское
“set” и французское “ensemble” не несут на
себе вводящего в заблуждение оттенка
множественности.) Возможны множества,
состоящие из одного только элемента, и
даже пустое множество, вовсе не
имеющее элементов. Зачем же рассматривать
такие патологические образования, как
пустое множество, спросит читатель. И
мы ему ответим: это удобно. Удобно иметь
право говорить, например, о множестве
слонов в зоопарке города N, не зная
заранее, есть ли в этом зоопарке хотя
бы один слон. Какое множество ни взять,
среди его частей присутствует и пустое
множество: так, среди частей множества
всех слонов земного шара присутствует
не только множество слонов московского
зоопарка, но и множество слонов любого
зоопарка, слонов не имеющего. Во избежание
недоразумений заметим, что пустое
множество одно: пустое множество слонов
и пустое множество мух представляют
собою одно и то же множество. (Совершенно
так же, как стакан газированной воды
без вишневого сиропа не отличается от
стакана газированной воды без апельсинового
сиропа; сравнение понятно для тех
читателей старших поколений, которые
ещё помнят торговлю газировкой на улицах
советских городов.)
Учение
о сравнении количеств элементов в любых,
а не только конечных, множествах целиком
принадлежит великому немецкому математику
и философу Георгу Кантору (1843 - 1918). Назвав
Кантора немцем, мы всего лишь следовали
укоренившейся традиции. Не вполне ясно,
как его следует называть. Его отец
родился в Дании, мать - в России. Сам он
также родился в России, а именно в
Санкт-Петербурге; в этом городе он провел
первые одиннадцать лет своей жизни, о
которых вспоминал с ностальгией. Вот,
скажем, Пьера Ферма, о котором говорилось
выше, в главе 2, можно было, не испытывая
сомнений, назвать французом: он всегда
жил во Франции, ей служил и говорил
по-французски; трудно представить, чтобы
Ферма ощущал себя кем-то иным, а не
французом. Кем ощущал себя Кантор -
загадка. Его биографы указывают, что
хотя свою взрослую жизнь он и прожил в
Германии, уютно ему там не было.