В
геометрии Лобачевского много непривычного
для нас, воспитанных на евклидовой
геометрии. Например: сумма углов
треугольника своя у каждого треугольника
и притом всегда меньше 180 градусов; если
треугольники подобны, то они равны; не
бывает треугольников сколь угодно
большой площади (это значит, что площадь
треугольника не может быть больше
некоторого числа, зависящего, разумеется,
от выбора единицы площади).
Кажется
естественным вопрос, какая же из аксиом
всё же истинна - аксиома Евклида или
аксиома Лобачевского. Давайте разберёмся.
Здесь мы вынуждены обратиться к проблемам
философским. Прежде всего надо понять,
что значит “истинна”. Казалось бы,
ясно: истинна - значит, соответствует
реальному положению вещей. Как там, в
реальном мире, - одна параллельная прямая
или много? А никак, потому что в реальном
мире вообще нет прямых - как нет и других
объектов геометрии. Геометрических
шаров, например, в природе не бывает, а
бывают лишь предметы, приближающиеся
по форме к геометрическому шару; при
этом арбуз в меньшей степени шар, чем
волейбольный мяч, а мяч - в меньшей
степени шар, чем биллиардный шар или
подшипник. С прямыми дело обстоит ещё
сложнее: ведь прямая бесконечна, а все
примеры, которые мы можем предъявить,
будь то линия, начерченная на песке или
бумаге, или натянутая нить, или граница
между стеной и потолком - все они
демонстрируют нам (опять-таки, разумеется,
приблизительно) лишь ограниченные,
конечные участки прямых линий, то есть
то, что на языке современной геометрии
называется отрезками. Да даже и отрезков
в точном геометрическом смысле в природе
не существует: самая тонкая нить имеет
толщину, самая отшлифованная поверхность
лишь приближается к идеальной форме, а
под электронным микроскопом выглядит
как рябь. Луч света - и тот искривляется
в реальном пространстве. Для возникновения
же представления о бесконечной прямой
одного только наглядного способа
недостаточно - требуется ещё и воображение.
От зарождения геометрии прошли
тысячелетия, пока люди осознали, что мы
не можем непосредственно наблюдать
точки, прямые, отрезки, плоскости, углы,
шары и прочие геометрические объекты,
и потому предметом геометрии служит не
реальный мир, а мир воображаемый,
населённый этими идеальными геометрическими
объектами и который всего лишь похож
на мир реальный (по терминологии некоторых
философских школ, является отражением
реального мира).
“Поверхности,
линии, точки, как их определяет Геометрия,
существуют только в нашем воображении”,
- писал в 1835 году Лобачевский во вступлении
к своему сочинению “Новые начала
геометрии с полной теорией параллельных”.
Аксиомы геометрии как раз и уточняют
свойства этих существующих в нашем
воображении понятий. Значит ли это, что
мы можем написать какие угодно аксиомы?
Нет, если мы хотим, чтобы геометрические
понятия отражали наши представления о
реальном физическом пространстве.
Потому что хотя точки, прямые, поверхности
не существуют реально, некие физические
объекты и явления, приводящие к этим
понятиям, безусловно существуют (если
вообще признавать реальное существование
окружающего нас мира). Поэтому вопрос
надо ставить так: какая из аксиом, Евклида
или Лобачевского, точнее описывает те
представления о структуре реального
физического пространства, которые
отражаются в геометрических образах?
Строгий ответ на это вопрос таков:
неизвестно. Однако можно с уверенностью
утверждать, что в доступных нашему
наблюдению областях пространства
евклидова геометрия соблюдается с
высокой степенью точности. Так что когда
мы говорим о неизвестности, мы имеем в
виду очень большие области пространства.
Дело в том, что в геометрии Лобачевского
отличие суммы углов треугольника от
180 градусов тем больше, чем длиннее
стороны этого треугольника; поэтому
чем больше треугольник, тем больше
надежды заметить это отличие - и тем
самым подтвердить на практике аксиому
Лобачевского. Отсюда возникает мысль
измерять треугольники с вершинами в
звёздах (упомянутый выше Швейкарт
употреблял для геометрии, впоследствии
предложенной Лобачевским, название