Поэтому
в течение долгого времени предпринимались
попытки доказать содержащееся в аксиоме
о параллельных утверждение, исходя из
остальных аксиом, и тем самым как бы
понизить статус этого утверждения,
переведя его из аксиом в теоремы. Однако
все эти попытки проваливались. Как
правило, в каждое такое доказательство
незаметно проскальзывало какое-нибудь
геометрическое утверждение, не вызывающее,
казалось бы, никаких сомнений, но на
самом деле равносильное аксиоме о
параллельных. Например, в “доказательстве”
знаменитого французского математика
XVIII - XIX веков Лежандра использовалось
такое вроде бы невинное предложение:
через любую точку внутри угла можно
провести прямую, пересекающую обе
стороны угла. Оказалось, что это
предложение равносильно аксиоме о
параллельных: оно не только опирается
на эту аксиому, но и из него, в свою
очередь, можно вывести самоё аксиому.
C большим
трудом в сознание математиков проникало
убеждение, что скорее всего сформулированное
в аксиоме о параллельных утверждение
вообще нельзя доказать. Осознать это
было трудно ещё и потому, что вплоть до
самого конца XIX века какой-либо чёткой
системы аксиом геометрии вообще не
существовало. Для аксиомы о параллельных
решающим оказалось третье десятилетие
XIX века. В этот период два великих геометра
- российский математик Николай Иванович
Лобачевский и венгерский математик
Янош Бойаи (по-русски часто пишется
“Больяй”) - совершенно независимо друг
от друга построили геометрическую
теорию, основанную на отрицании аксиомы
о параллельных. Эту теорию называют
геометрией Лобачевского - Бойаи
или же просто геометрией Лобачевского
(предполагаю, что в Венгрии она
называется геометрия Бойаи ). Первые
публикации по геометрии Лобачевского
принадлежат её авторам: Лобачевскому
- в 1829 году, Бойаи - в 1832 году. Их
предшественником можно считать немецкого
юриста Швейкарта, который пришёл к мысли
о возможности такой геометрии в 1818 году,
но ничего не публиковал. “Король
математиков” великий Гаусс, о котором
уже было сказано в главе 5 о квадратуре
круга, пришёл к этой мысли ещё раньше,
но тоже ничего не публиковал, справедливо
полагая, что научная общественность
ещё не готова воспринять столь смелые
мысли. И действительно, геометрия
Лобачевского не получила признания
современников (за исключением Гаусса,
который её оценил и даже выучил русский
язык, чтобы читать сочинения Лобачевского
в подлиннике). Гениальность Лобачевского
и Бойаи была признана только после их
смерти (случившейся соответственно в
1856 и 1860 годах). Когда же, наконец,
возможность неевклидовой геометрии
была осознана, это произвело переворот
не только в математике, но и в философии.