. Такими
измерениями занимался сам Лобачевский
(“И он вгляделся пристальней в безоблачную
высь…”), но точность измерительных
приборов оказалась недостаточной, чтобы
уловить отклонение суммы углов
треугольника от суммы двух прямых углов,
даже если таковое отклонение и существует.
Чтобы
пояснить, как это может быть, что для
меньших участков пространства действует
одна геометрия, а для ббольших другая,
воспользуемся следующей аналогией. При
составлении плана местности нет нужды
учитывать шарообразность Земли - именно
потому, что участок, план которого
снимается, небольшой. Поэтому для
сравнительно небольших участков разумно
исходить из того, что Земля плоская -
именно поэтому это заблуждение так
долго держалось. При составлении же
карты России необходимо учитывать
шарообразность Земли, а при тонких
расчётах - то, что Земля есть эллипсоид
(а точнее - геоид). При ружейной стрельбе
можно проследить на карте местности
траекторию пули, приложив линейку к
двум точкам: к положению стрелка и к
цели. Но маршрут самолёта, совершающего
дальний перелёт по кратчайшей линии,
на плоской карте выглядит как дуга.
Аналогично, евклидова геометрия хорошо
работает “в малом”, то есть в доступных
нам участках пространства. Мы не знаем,
что происходит “в очень большом”. В
рассказе Уэллса “История Платтнера”
его герой Готфрид Платтнер претерпевает
некое фантастическое путешествие, после
чего возвращается зеркально перевёрнутым.
Уэллс объясняет это явление выходом в
другой мир, в четвёртое измерение.
Теоретические представления о возможной
геометрической структуре Вселенной не
исключают того, что путешествие,
приводящее к зеркальному отражению
путешественника, может быть осуществлено
и без выхода из нашего трёхмерного мира.
Мы вернёмся к этому в следующей главе
нашего очерка.
Но что
же представляют из себя идеальные
геометрические объекты: точки, прямые,
углы, плоскости и тому подобные, -
отражающие наши представления о
физической реальности? И в каком смысле
они подчиняются аксиомам? Проще всего
объяснить это с помощью хотя и
искусственной, но поучительной аналогии.
Выпишем следующие четыре утверждения:
(1) Для
каждых двух куздр существует бокр,
которого они будлают.
(2) Две
различные куздры не могут будлать вместе
более одного бокра.
(3)
Существуют три куздры, для которых нет
такого бокра, которого все они будлают.
(4)
Каждого бокра будлают по меньшей мере
две куздры.
Ни что
такое куздры, ни что такое бокры, ни что
такое будлать - всё это оставляется
неразъяснённым. Оказывается, однако,
что разъяснения и не требуются для
получения из этих утверждений определённых
заключений - то есть таких утверждений,
которые непременно являются истинными
при условии истинности всех утверждений
нашего исходного квартета. Убедимся,
например, что (5)