В самом деле,
если бы таких куздр было две, то они
совместно будлали бы двух наших бокров,
что запрещено утверждением (2). Для
собственного развлечения читатель
может доказать, например, такой факт:
(6)
для каждых двух куздр найдётся такая
третья куздра, что нет бокра, которого
будлали бы все эти три куздры .
Итак,
что мы имеем. Мы имеем какие-то объекты
(в данном случае - куздры и бокры) и
отношения между ними (в данном случае
- отношение будлания). Относительно этих
объектов и отношений нам не известно
ничего, кроме некоторых их свойств,
сформулированных в заявленных
утверждениях, в данном случае - в
утверждениях (1) - (4). Эти заявленные
утверждения суть не что иное, как аксиомы
(в данном случае - аксиомы куздроведения).
Они используются для того, чтобы, принимая
их в качестве истин, выводить из них
теоремы, то есть дальнейшие
утверждения о наших объектах и отношениях
(одну теорему куздроведения мы доказали,
другую предложили доказать читателю).
Так строится любая аксиоматическая
теория, в частности - геометрия. Ограничимся
для простоты планиметрией, то есть
геометрией плоскости, без выхода в
трёхмерное пространство. Основные
объекты планиметрии суть точки и прямые.
Основных отношений четыре:
1.
Отношение инцидентности между
точками и прямыми: точка и прямая могут
быть или не быть инцидентны друг
другу. В школьной геометрии употребляется
более приземлённая терминология: когда
точка и прямая инцидентны, говорят
“точка лежит на прямой” или же
“прямая проходит через точку”.
2.
Отношение ‘между’, связывающее тройки
точек: из трёх точек одна может лежать
или не лежать между двумя другими.
3-4.
Отношение конгруэнтности отрезков
и отношение конгруэнтности углов:
два отрезка или два угла могут быть или
не быть конгруэнтны друг другу.
Когда-то в наших школах не боялись слова
“конгруэнтны”; сейчас, к сожалению,
там велено заменить это слово на слово
“равны”. Почему “к сожалению”? А
потому, что ведь имеется в виду отношение
не между длинами отрезков или между
величинами углов (и те, и другие
действительно равны, если соответствующие
отрезки или углы конгруэнтны), а между
отрезками и между углами как геометрическими
фигурами. А каждая сущность, геометрическая
фигура в частности, может быть равна
только самой себе.
Аксиоматическое
построение геометрии не предполагает
разъяснения того, чтбо такое точки,
прямые и названные отношения. Вместо
этого формулируются аксиомы, в которых
указывается, каким законам подчиняются
точки, прямые, инцидентность, отношение
‘между’, конгруэнтность отрезков и
конгруэнтность углов. Из этих аксиом и
выводятся теоремы геометрии. Говоря
формально, аксиомы могут быть какими
угодно, лишь бы они не противоречили
друг другу. Но ежели мы желаем, чтобы
теория описывала реальность, то, как
уже отмечалось, и аксиомы, связывающие
идеальные объекты и отношения теории,
должны отражать свойства тех сущностей
реального, физического мира, отражением
каковых и служат указанные идеальные
объекты и отношения, положенные в основу
теории. В частности, отношение
конгруэнтности геометрических фигур
должно отражать возможность одной
фигуры быть совмещённой с другой
посредством перемещения.