Проблема,
которую решил Перельман, состоит в
требовании доказать гипотезу, выдвинутую
в 1904 году великим французским математиком
Анри Пуанкаре (1854 - 1912) и носящую его имя.
О роли Пуанкаре в математике трудно
сказать лучше, чем это сделано в
энциклопедии: “Труды Пуанкаре в области
математики, с одной стороны, завершают
классическое направление, а с другой -
открывают пути к развитию новой
математики, где наряду с количественными
соотношениями устанавливаются факты,
имеющие качественный характер” (БСЭ,
изд. 3-е, т. 2).
Гипотеза
Пуанкаре как раз и имеет качественный
характер - как и вся та область математики
(а именно топология), к которой она
относится и в создании которой Пуанкаре
принял решающее участие.
На
современном языке гипотеза Пуанкаре
звучит так: всякое односвязное
компактное трёхмерное многообразие
без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
В
следующих абзацах мы постараемся хотя
бы частично и очень приблизительно
разъяснить смысл этой устрашающей
словесной формулы.
Для
начала заметим, что обычная сфера,
которая есть поверхность обычного шара,
двумерна (а сам шар - тот трёхмерен).
Двумерная сфера состоит из всех
точек трёхмерного пространства,
равноудалённых от некоторой выделенной
точки, называемой центром и сфере не
принадлежащей. Трёхмерная сфера
состоит из всех точек четырёхмерного
пространства, равноудалённых от своего
центра (сфере не принадлежащего). В
отличие от двумерных сфер трёхмерные
сферы недоступны нашему непосредственному
наблюдению, и нам представить себе их
так же трудно, как Василию Ивановичу из
известного анекдота квадратный трёхчлен.
Не исключено, однако, что все мы как раз
в трёхмерной сфере и находимся, то есть
что наша Вселенная является трёхмерной
сферой. В этом состоит значение результата
Перельмана для физики и астрономии.
Термин “односвязное компактное
трёхмерное многообразие без края”
содержит указания на предполагаемые
свойства нашей Вселенной. Термин
“гомеоморфно” означает некую высокую
степень сходства, в известном смысле
неотличимость. Формулировка в целом
означает, следовательно, что если наша
Вселенная обладает всеми свойствами
односвязного компактного трёхмерного
многообразия без края, то она - в том же
самом “известном смысле” - и есть
трёхмерная сфера.
Понятие
односвязности - довольно простое понятие.
Представим себе канцелярскую резинку
(то есть резиновую нить со склеенными
концами) столь упругую, что она, если её
не удерживать, стянется в точку. От нашей
резинки мы потребуем ещё, чтобы при
стягивании в точку она не выходила за
пределы той поверхности, на которой мы
её расположили. Если мы растянем такую
резинку на плоскости и отпустим, она
немедленно стянется в точку. То же
произойдёт, если мы расположим резинку
на поверхности глобуса, то есть на сфере.
Для поверхности спасательного круга
ситуация окажется совершенно иной:
любезный читатель легко найдёт такие
расположения резинки на этой поверхности,
при которой стянуть резинку в точку, не
выходя за пределы рассматриваемой
поверхности, невозможно. Геометрическая
фигура называется