если любой замкнутый контур, расположенный
в пределах этой фигуры, можно стянуть
в точку, не выходя за названные пределы.
Мы только что убедились, что плоскость
и сфера односвязны, а поверхность
спасательного круга не односвязна. Не
односвязна и плоскость с вырезанной в
ней дырой. Понятие односвязности
применимо и к трёхмерным фигурам. Так,
куб и шар односвязны: всякий находящийся
в их толще замкнутый контур можно стянуть
в точку, причём в процессе стягивания
контур будет всё время оставаться в
этой толще. А вот баранка не односвязна:
в ней можно найти такой контур, который
нельзя стянуть в точку так, чтобы в
процессе стягивания контур всё время
находился в тесте баранки. Не односвязен
и крендель. Можно доказать, что трёхмерная
сфера односвязна.
Надеемся,
что читатель не забыл ещё разницу между
отрезком и интервалом, которой обучают
в школе. Отрезок имеет два конца,
он состоит из этих концов и всех точек,
расположенных между ними. Интервал
же состоит только из всех точек,
расположенных между его концами, сами
же концы в состав интервала не входят;
можно сказать, что интервал - это отрезок
с удалёнными из него концами, а отрезок
-это интервал с добавленными к нему
концами. Интервал и отрезок являются
простейшими примерами одномерных
многообразий, причём интервал есть
многообразие без края, а отрезок -
многообразие с краем; край в случае
отрезка состоит из двух концов. Главное
свойство многообразий, лежащее в основе
их определения, состоит в том, что в
многообразии окрестности всех точек,
за исключением точек края (которого
может и не быть), устроены совершенно
одинаково. При этом окрестностью
какой-либо точки A называется
совокупность всех точек, расположенных
вблизи от этой точки A . Микроскопическое
существо, живущее в многообразии без
края и способное видеть только ближайшие
к себе точки этого многообразия, не в
состоянии определить, в какой именно
точке оно, существо, находится: вокруг
себя оно всегда видит одно и то же. Ещё
примеры одномерных многообразий без
края: вся прямая линия целиком, окружность.
Примером одномерной фигуры, не являющейся
многообразием, может служить линия в
форме буквы T : здесь есть особая
точка, окрестность которой не похожа
на окрестности других точек - это точка,
где сходятся три отрезка. Другой пример
одномерного не-многообразия - линия в
форме восьмёрки; в особой точке здесь
сходятся четыре линии. Плоскость, сфера,
поверхность спасательного круга служат
примерами двумерных многообразий без
края. Плоскость с вырезанной в ней дырой
также будет многообразием - а вот с краем
или без края, зависит от того, куда мы
относим контур дыры. Если мы относим
его к дыре, получаем многообразие без
края; если оставляем контур на плоскости,
получаем многообразие с краем, каковым
и будет служить этот контур. Разумеется,
мы имели здесь в виду идеальное
математическое вырезание, а при реальном
физическом вырезании ножницами вопрос,
куда относится контур, не имеет никакого
смысла.