Несколько
слов о трёхмерных многообразиях. Шар
вместе со сферой, служащей его поверхностью,
представляет собою многообразие с
краем; указанная сфера как раз и является
этим краем. Если мы удалим этот шар из
окружающего пространства, получим
многообразие без края. Если мы сдерём
с шара его поверхность, получится то,
что на математическом жаргоне называется
“ошкуренный шар”, а в более научном
языке - открытый шар . Если удалить
открытый шар из окружающего пространства,
получится многообразие с краем, и краем
будет служить та самая сфера, которую
мы содрали с шара. Баранка вместе со
своей корочкой есть трёхмерное
многообразие с краем, а если отодрать
корочку (которую мы трактуем как
бесконечно тонкую, то есть как поверхность),
получим многообразие без края в виде
“ошкуренной баранки”. Всё пространство
в целом, если понимать его так, как оно
понимается в средней школе, есть
трёхмерное многообразие без края.
Математическое
понятие компактность отчасти
отражает тот смысл, какой слово
“компактный” имеет в повседневном
русском языке: ‘тесный’, ‘сжатый’.
Геометрическая фигура называется
компактной, если при любом расположении
бесконечного числа её точек они
накапливаются к одной из точек или ко
многим точкам этой же фигуры. Отрезок
компактен: для любого бесконечного
множества его точек в отрезке найдётся
хотя бы одна так называемая предельная
точка, любая окрестность которой
содержит бесконечно много элементов
рассматриваемого множества. Интервал
не компактен: можно указать такое
множество его точек, которое накапливается
к его концу, и только к нему, - но ведь
конец не принадлежит интервалу! За
недостатком места мы ограничимся этим
комментарием. Скажем лишь, что из
рассмотренных нами примеров компактными
являются отрезок, окружность, сфера,
поверхности баранки и кренделя, шар
(вместе со своей сферой), баранка и
крендель (вместе со своими корочками).
Напротив, интервал, плоскость, ошкуренные
шар, баранка и крендель не являются
компактными. Среди трёхмерных компактных
геометрических фигур без края простейшей
является трёхмерная сфера, но в нашем
привычном “школьном” пространстве
такие фигуры не умещаются.
Самое,
пожалуй, глубокое из тех понятий, которые
связывает между собой гипотеза Пуанкаре,
- это понятие гомеоморфии. Гомеоморфия
- это наиболее высокая ступень
геометрической одинаковости. Сейчас
мы попытаемся дать приблизительное
разъяснение этому понятию путём
постепенного к нему приближения.
Уже в
школьной геометрии мы встречаемся с
двумя видами одинаковости - с конгруэнтностью
фигур и с их подобием. Напомним, что
фигуры называются